طريقة بولتزمان للشبكات

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

تعتبر طريقة بولتزمان للشبكات من الطرق الرياضية الإحصائية دارجة الاستخدام حالياً في حسابات الجريان بشكل عام.

يتم عبر هذه الطريقة الاستعاضة عن حل معادلات نافير-ستوكس للجريان بتجزئة معادلة بولتزمان الرياضية لحل الجريان النيوتوني عبر نموذج تصادمي كذلك المبسط الذي استنتجه العلماء باتناغر-غروس-كروك . لمحاكاة التفاعلات لعدد محدد من الجزيئات فإن السلوك اللزج للجريان ينبثق بشكل آلي من عملية التقدم والتصادم اللحظي للجزيئات.

مقدمة تاريخية[عدل]

يرجع تطور هذه الطريقة إلى أختها المنطقية طريقة الغاز للشبكات. إلا أنها أيضاً تعتمد على معادلة بولتزمان المجزأة حيث يتم تجزئة الانتقال والزمن والسرعة أيضاً. ترتبط كل عقدة حل في الشبكة بجيرانها عبر عدد من السرعات الشبكية يتم تحديدها عبر النموذج المختار.

بعض الباحثين يتعبرونها أيضاً الحل المبسط لطريقة الفروق المحددة .

الخوارزمية العامة للحل[عدل]

إن أهم تطبيق لهذه الطريقة هي معالجة أنظمة الجريان المعقدة، وعلى العكس من طرق حسابات الجريان التقليدية التي تقوم بحل معادلات المصونية للخواص الماكروية (كالكتلة وكمية الحركة والطاقة...إلخ) عددياً فإن هذه الطريقة تقوم بنمذجة جزيئات تخيلية تقون بإنجاز عملية التقدم والتصادم ضمن شبكة حل معينة.

تصنيف النماذج العام[عدل]

يمكن للنماذج المتوفرة حالياً أن يتم تطبيقها على شبكات حل مختلفة أحادية أو ثنائية أو ثلاثية الأبعاد، متوزعة ضمن مثلث (هرم) أو مربع (مكعب). الشكل العام للتصنيف هو DnQm حيث D ترمز للبعد الفراغي، Q عدد الارتباطات لكل عقدة حل.

التطبيقات[عدل]

يمكن تطبيق هذه الطريقة في المجالات التي تتعلق بالجريان ونذكر منها:

وغيرها من المجالات

محدودية الطريقة[عدل]

على الرغم من الشعبية المتزايدة لهذه الطريقة فإن لها محدودية في التطبيق، مثال ذلك في مجال الإيروديناميك عدم إمكانية محاكاة الجريان ذي الرقم اللابعدي ماخ المرتفع، وغياب مخطط حل مستقر لمسائل الترموديناميك.

الشرح الرياضي[عدل]

تعبّر معادلة بولتزمان عم معادلة التطور لتابع التوزيع الاحتمالي لجزيئة مفردة f(x,v,t) :

\partial_t f + v\partial_x f + F\partial_v f=\Omega
f_i(x+v_i,t+1)-f(x,t) + F_i=\Omega
\Omega = \frac{1}{\tau} (f_i^0-f_i)
\rho=\sum_i f_i

كما تعطى كمية الحركة الموضعية:

\rho u = \sum_i f_i v_i.
\rho \theta + \rho u u =\sum_i f_i v_i v_i.

بحوث متقدمة[عدل]

  • السلوك الحراري للمواد
  • إنشاء شبكات تمتلك دقة موضعية ملائمة
  • تطوير بعض الشروط الحدية الملائمة لهندسة شكل معقدة

المراجع[عدل]

لا يوجد أي مرجع أو شرح لهذه الطريقة باللغة العربية لذلك فإن على القارئ أن يلم بلغة أجنبية كي يتمكن من الطريقة.

  • Succi, Sauro (2001). The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond. Oxford University Press. ISBN 0198503989. 

وصلات خارجية[عدل]