إسقاطات عمودية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من طريقة مونج)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
إسقاطات متعامدة لتمثيل جسم ثلاثي الأبعاد، مرسومة في الفراغ (على يمين الصورة) وفي نفس المستوى (على اليسار)

طريقة مونج في الهندسة الوصفية هي طريقة تستعمل اسقاطات متوازية لتمثيل جسم ثلاثي الأبعاد. وتستمد اسمها من عالم الرياضيات الفرنسي غاسبار مونج الذي يصفها في كتابه Géométrie descriptive 1799. طريقة مونج تعتمد على الإسقاطات المتعامدة للجسم على مستويين متعامدين على بعضهما البعض، عادة واحد من هذه المستويات أفقي والآخر رأسي, تقاطعهما يسمى خط الأرض. بعد أن تتم عمليات الإسقاط يشرع في عملية دوران المستوى الرأسي حول خط ألأرض وبعكس عقارب الساعة, لجعله يتطابق مع المستوي الأفقي. هدف هذه العملية هو الحصول على مستوى واحد (أو بالاحرى مستويين متطابقين) لتسهيل قراءة وكتابة الرسم. بالإضافة إلى ذلك الممكن وضع الإسقاطات المتعامدة (خريطة، واجهة) لأي شكل هندسي في حالة تقابل, أي ان النقاط المتقابلة تكون مصطفة على خطوط مشتركة في نقطة واحدة (نهائية أو لانهائية) تسمى مركز التقابل, والخطوط المتقابلة تلتقي في نقاط مصطفة على خط واحد يسمى محور التقابل.

من الجدير بالذكر القول أن الخطوط التي توصل النقاط المتقابلة تسمى خطوط تناظر. التي اتجاهها عمودي على خط الأرض.

تمثيل الكيانات الهندسية الرئيسية[عدل]

تمثيل نقطة[عدل]

تمثيل النقطة في طريقة مونج

في طريقة مونج نقطة A في الفراغ تُمثل عن طريق إسقاطين عموديين على مستويات الإسقاط:π2 π1. نقطة التقاطع بين الخط العمودي المار بالنقطة A والمستوى الأفقي π1, هي المسقط الأول (أو الأفقي) للنقطة A ويُرمز لها A1. بطريقة مماثلة يحدد المسقط الثاني A2 كنقطة تقاطع بين π2 (مستوى الإسقاط الثاني) والخط العمودي على π2 والمار بالنقطة A.

  • المستوى الأفقي π1: يسمى مستوى الإسقاط الأول
  • المستوى الراسي π2: يسمى مستوى الإسقاط الثاني
  • ألاتجاه العمودي على π1 يسمى مركز الإسقاط الأول
  • ألاتجاه العمودي على π2 يسمى مركز الإسقاط الثاني
  • الخط العمودي على π1, يسمى خط الإسقاط الأول
  • الخط العمودي على π2, يسمى خط الإسقاط الثاني
  • ارتفاع A: مسافة (أو بُعد) النقطة A عن π1
  • بروز A: مسافة النقطة A عن π2

مثال[عدل]

لنعين نقطة P في الزاوية الزوجية الأولى (I diedro), الإسقاط المونجي للنقطة P يكمن في الخطوات التالية:

  • الإسقاط الأول P1 للنقطة P, يحدد كنقطه تقاطع بين الخط الرأسي المار بالنقطة P والمستوى الأول π1 (يسمى أيضاً مستوى الإسقاط الافقي).
  • الإسقاط الثاني P2 للنقطة P, يحدد كنقطه تقاطع بين مستوى الإسقاط الثاني π2 (يسمى أيضاً مستوى الإسقاط الامامي) والخط العمودي على π2 (يسمى خط الإسقاطي الثاني).

المستوى المار بالنقطة P والعمودي على المستويين π1 وπ2, يقطعهما بخطين عموديين على خط الأرض. نقطة تقاطع هذا المستوى مع خط الأرض تسمى نقطة مرجع P ويرمز لها P0 (بي زيرو). وبهذا:

  • ارتفاع P = المسقيم P_P1 الذي يساوي أيضاً P2_P0
  • بروز P = المسقيم P_P2 الذي يساوي أيضاً P1_P0

تمثيل خط[عدل]

تمثيل مونجي لخط عام

يتم تحديد الإسقاطات المتعامدة r1 r2 لخط r موضوع في الفراغ, كما يلي:

  • الإسقاط ألافقي r1 للخط r كتقاطع بين مستوى الإسقاط الأفقي π1 والمستوى الراسي المار بالخط r.
  • وبالمثل الإسقاط الراسي r2، يحدد كخط تقاطع بين مستوى الإسقاط الراسي π2 والمستوى العمودي على π2 والمار بالخط r.

عملياً، لتحديد الإسقاطات المونجية (r1 r2)، لخط r ,على سبيل المثال r1، من الضروري تحديد إسقاطين (P1 Q1) لنقطتين (P Q) ينتميان للخط r. ولأن الخط r نظريا يعتبر كيان غير محدودة طولياً، فالنقطتين يمكن أن يكونان آثار ذلك الخط r، أي نقاط التقاطع (T'r T"r) بين الخط r ومستويي الإسقاط (π2 π1).

    • نقطة التقاطع T'r بين خط r ومستوى الإسقاط الأفقي π1، تسمى الأثر الأول للخط r.
    • أما نقطة التقاطع T"r بين خط r ومستوى الإسقاط الرأسي π2، يسمى الأثر الثاني للخط r.

تمثيل مستوى[عدل]

مستويي الاسقاط في طريقة مونج

المستوى من الناحية النظرية يعتبر لانهائي, وبالتالي الطريقة الوحيدة لتمثيله يتم من خلال خطوط تقاطعه مع مستويات الاسقاط. وهذه الخطوط تسمى اثار المستوى. مثلا تقاطع مستوى الفا مع مستوى الاسقاط الاول يسمى الاثر الاول للمستوى الفا, وخط تقاطع الفا مع مستوى الاسقاط الثاني يسمى الاثر الثاني للمستوى الفا.

تاريخ[عدل]

مونج تعهد بعدم الكشف عن الطريقة الموصوفة أعلاه، التي كانت سر عسكري لمده 15 عاما. فقط في 1794، سمح بتدريسها في باريس. [1]

ببليوغرافيا[عدل]

مصادر[عدل]

وصلات خارجية[عدل]