طول التشتت

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

طول التشتت في الفيزياء النووية و ميكانيكا الكم (بالإنجليزية: scattering length ) هو طول يميز تشتت الجسيمات على أنوية ذرية أو على جسيمات أولية أخرى عندما تكون الجسيمات ذات طاقة منخفضة (سرعة منخفضة) . ويعرف طول التشتت في نطاق السرعات البطيئة بالمعادلة:


\lim_{k\to 0} k\cot\delta(k) =- \frac{1}{a}\;,

حيث :

k العدد الموجي

, \delta(k) انزياح الطور

, a طول التشتت.

ويُعرّف مقطع التشتت المرن \sigma_e عند الطاقات المنخفضة فقط بواسطة طول التشتت ، أي عندما تؤول k إلى الصفر نجد العلاقة بين مقطع التشتت وطول التشتت المرن كالآتي  :

\sigma_e= 4 \pi a_s^2

مقدمة[عدل]

عندما يتشتت جسيم بسرعة بطيئة على جسيم ذو مقييس صغيرة (مثل حبيبة شوائب في مادة أو جسيم ثقيل ) فلا يستطيع "رؤية" بناء البناء الفصيلي للجسيم الثقيل حيث أن طول موجة دبرولي المقترنة بالجسيم الأولي تكون طويلة جدا . ويصبح ليس من المهم التعرف على شكل جهد ( V(r الجسيم الثقيل التي يحدث عليه تشتت الجسيمات الأولية وإنما شكل العام للجهد كما يُرى من بعيد . وطريقة حل تلك المسألة الحركية هي إجراء ( تحليل ) للموجات الجزئية طبقا للطريقة الكهرومغناطيسية الكلاسيكية حيث يحلل العزم الزاوي إلى محصلات متجهات للموجة الناتجة . وعند الطاقات المنخفضة للجسيمات الأولية الساقطة فإنها لا "ترى " تفاصيل بناء الجسيم الثقيل ويحدث تشتتا في صورة موجة خارجة كروية متناظرة spherical symmetric ، وهذه تسمى موجة s للتشتت ، وهي تتميز بأن عزمها الزاوي l=0 . هذا معناه أنه عندما تكون سرعة الجسيمات بطيئة تتشتت الجسيمات بالتساوي في جميع الاتجاهات حول نواة الاصتدام ، وتلك هي صفة الموجة s للتشتت .

وعند زيادة طاقة الجسيمات الساقطة فيجب أخذ الموجات p و d في الحسبان (l=1,2) في عملية التشتت . فالموجات p و d تضيف على الموجة s الكروية موجات غير كروية حيث يكون توزيع الجسيمات بعد التشتت ليس متساويا في جميع الاتجاهات حول النواة .

والغرض من وصف التشتت عند الطاقات المنخفضة بواسطة إحداثيات بسيطة وتناظرية وذلك عن طريق حساب المعادلات في حالة العزم الزاوي l=0.

مثال[عدل]

من أجل حساب الموجة s (أي للعزم الزاوي l=0) لجهد تآثر معين سنعتبر جهد تنافر كروي في شكل بئر جهدي عمقه لا نهائي ذو نصف قطر r_0 . ويمكن صياغة معادلة شرودنجر التي تصف جسيم حر خارج البئر ، (l=0) :

-\frac{\hbar^2}{2m} u''(r)=E u(r),

حيث يتطلب شرط جهد التصادم الحاد أن تختفي الدالة الموجية u(r) عند r=r_0 و u(r_0)=0.

وحل تلك المسألة :

u(r)=A \sin(k r+\delta_s).

حيث :

k=\sqrt{2m E}/\hbar;
\delta_s=-k \cdot r_0 الموجة s لانزياح الطور (أي فارق الطور بين الموجة الساقطة والموجة الخارجة بعد الاصتدام ) وهي محددة بالشرط :
u(r_0)=0 عند A كثابت مناسب لتوحيد قيم الموجات .

ويمكننا إثبات أن:

\delta_s(k)\approx-k \cdot a_s +O(k^2)

عندما تكون k صغيرة (أي عندما تكون طاقة الجسيم منخفضة ) . ويسمى الطول a_s طول التشتت .

وبالنسبة للجهد الذي اخترناه يكون a=r_0 ، أي أن طول التشتت في حالة التشتت على كرة مصمته مساويا لنصف قطرها .

ومن جهة أخرى فيمكن القول أن أي جهد اختياري يتميز بموجة s لطول التشتت a_s يكون له نفس خواص التشتت عند الطاقات المنخفضة مثلما يحدث في حالة كرة صلبة مصمته ذات نصف قطر a_s).

وبغرض المقارنة بين طول التشتت المحسوب وبين المشاهدة التي يمكن قياسها في تجربة تشتت نحتاج إلى حساب مقطع التصادم \sigma.

ونكتب في نظرية التشتت الدالة الموجية النهائية (باعتبار وجود جسيم ثقيل كروي ذو مقاييس محددة تسقط علية موجة مستوية على المحور z).

\psi(r,\theta)=e^{i k z}+f(\theta) \frac{e^{i k r}}{r}

حيث :

f مطال التشتت.

وطبقا للتفسير الاحتمالي لميكانيكا الكم يعطى مقطع التصادم التفاضلي بالمعادلة :

d\sigma/d\Omega=|f(\theta)|^2

وهي تعطي احتمال التشتت في الاتجاه\mathbf{k}). في وحدة الزمن . فغذا اعتبرنا الموجة s وحدها للتشتت فلن يعتمد مقطع التشتت التفاضلي على الزاوية \theta, ويبلغ المقطع الكلي للتشتت :

\sigma=4 \pi |f|^2.

وجزء الموجة s للدالة الموجية \psi(r,\theta) سيمكن تمثيلها باستخدام تحليل الموجة المستوية عاديا بصيغة موجة كرية و ليجندر بولونوميال P_l(\cos \theta).

e^{i k z}\approx\frac{1}{2 i k r}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)P_l(\cos \theta)\left[ (-1)^{l+1}e^{-i k r} + e^{i k r}\right]

ومع معادلة متجه l=0 لمقطع التصادم \psi(r,\theta) ومساواتها بحل الموجة s نحصل على:


\psi(r)=A \sin(k r+\delta_s)/r

حيث نقوم بتوحيد قيمة A بحيث أن تكون الموجة الساقطة e^{i k z} قيمتها واحد) one has، فنحصل على:

f=\frac{1}{2 i k}(e^{2 i \delta_s}-1)\approx \delta_s/k \approx -  a_s

وهذا يعطي :

\sigma= \frac{4 \pi}{k^2} \sin^2 \delta_s =4 \pi a_s^2

اقرأ أيضا[عدل]

المراجع[عدل]