ظل (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
صورة (1) ، وتسمى دائرة واحدية.

ظل الزاوية يُعرف بأنه النسبة بين الجيب وجيب التمام لنفس الزاوية.

اذا نظرنا إلى صورة (1)، نرى أن المثلثات oab و OCD مماثلة،

لذلك يكون تعريف ظل الزاوية x :

\tan x =\frac {DC}{OC}

وكذلك :

\tan x=\frac {AB}{OA}

بالتالي يكون:

\frac {AB}{OA}=\frac {DC}{OC}


لذى ينطوي على العلاقة الأساسية بين الظل و الجيب sin x و جيب التمام cos x العلاقة :

\tan x =\, \frac{\sin x}{\cos x}


حساب الظل[عدل]

حساب الظل في مثلث قائم:

ظل الزاوية = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور

كما أن :

ظل الزاوية ب = جيب الزاوية ب/جيب تمام الزاوية ب

Tan-ar.JPG

مثال :

  • طول المجاور [أب] = 5 سنتيمتر

فيكون ظل الزاوية ب :المقابل [أج] / المجاور [أب] = 15 / 5 = 3

بعض الزوايا الشهيرة[عدل]

  • ظل0=0
  • ظل90=لا نهاية
  • ظل180=0
  • ظل270=لا نهاية


طبقا للمعادلة أعلاه يكون :

\frac {AB}{OA}=\frac {DC}{OC}

أي أن:

\frac {AB}{240}=\frac {5}{8}

ومنها ينتج أرتفاع ناطحة السحاب AB :

متر \ AB=\ {150}

ولانحتاج لقياس ناطحة السحاب للصعود والنزول وقياسها بالمتر في يدنا ، بل يكفي معرفة قانون ظل الزاوية وبعض الأبعاد السهلة التعيين لتعيين ارتفاع ناطحة السحاب .

حساب ظل الزاوية[عدل]

يمكن التعبير عن ظل الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:


\begin{align}
\tan x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
& {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac{\pi}{2}.
\end{align}


اقرأ أيضا[عدل]