ظل (رياضيات)

صورة (1) ، وتسمى دائرة واحدية.

ظل الزاوية يُعرف بأنه النسبة بين الجيب وجيب التمام لنفس الزاوية.

اذا نظرنا إلى صورة (1)، نرى أن المثلثات oab و OCD مماثلة،

لذلك يكون تعريف ظل الزاوية x :

$\tan x =\frac {DC}{OC}$

وكذلك :

$\tan x=\frac {AB}{OA}$

بالتالي يكون:

$\frac {AB}{OA}=\frac {DC}{OC}$

لذى ينطوي على العلاقة الأساسية بين الظل و الجيب sin x و جيب التمام cos x العلاقة :

$\tan x =\, \frac{\sin x}{\cos x}$

حساب الظل

حساب الظل في مثلث قائم:

ظل الزاوية = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور

كما أن :

ظل الزاوية ب = جيب الزاوية ب/جيب تمام الزاوية ب

مثال :

• طول المقابل [أج] = 15 سنتيمتر

• طول المجاور [أب] = 5 سنتيمتر

فيكون ظل الزاوية ب :المقابل [أج] / المجاور [أب] = 15 / 5 = 3

بعض الزوايا الشهيرة

• ظل0=0
• ظل90=لا نهاية
• ظل180=0
• ظل270=لا نهاية

حساب ارتفاع ناطحة سحاب

تفترض أننا نقف بعيدا عن ناطحة سحاب ونريد تعيين ارتفاعها . نقوم بالخطوات التالية :

1) نأتي بعامود ونثبته على الأرض بحيث يكون ارتفاعه مثلا 5 متر . يمثل هذا العامود المسافة DC في الرسم (1)،

2) نبتعد عن العامود بحيث نرى العامود في اتجاه ناطحة السحاب ، ونستمر في الابتعاد حتى نرى قمة العامود منطبقة على قمة ناطحة السحاب ، تلك هي المسافة OC في الرسم .(ملحوظة: لتعيين الارتفاع بدقة فلا بد من تقريب رأسنا من الأرض حتى تري العين القمتين متطابقتين ).

3) نقوم بقياس المسافة بين العين و العامود ، وهذه تمثل المسافة OC في الرسم ، ولتكن 8 متر .

4 ) فإذا كانت المسافة بيننا وبين ناطحة السحاب 240 متر ، فهذه هي المسافة OA في الرسم .

طبقا للمعادلة أعلاه يكون :

$\frac {AB}{OA}=\frac {DC}{OC}$

أي أن:

$\frac {AB}{240}=\frac {5}{8}$

ومنها ينتج أرتفاع ناطحة السحاب AB :

متر $\ AB=\ {150}$

ولانحتاج لقياس ناطحة السحاب للصعود والنزول وقياسها بالمتر في يدنا ، بل يكفي معرفة قانون ظل الزاوية وبعض الأبعاد السهلة التعيين لتعيين ارتفاع ناطحة السحاب .

حساب ظل الزاوية

يمكن التعبير عن ظل الزاوية لزاوية x -معبرا عنها بالتقدير الدائري- بواسطة سلسلة تايلور التالية:

$\begin{align} \tan x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & {} = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac{\pi}{2}. \end{align}$

اقرأ أيضا

• جيب الزاوية
• جيب التمام
• دائرة واحدية
• حساب المثلثات