عدد أولي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1, يقبل القسمة فقط على نفسه وعلى الواحد .

كأي مجموعة من مجموعات الأعداد المختلفة ، تعتبر الأعداد الأولية مجموعة لا نهائية من الأرقام .

دراسة الأعداد الأولية جزء من دراسة نظرية الأعداد ، حيث خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة ، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان و حدسية غولدباخ مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها.

السبب الأساسي يعود إلى عدم فهمنا لطريقة توزيع الأعداد الأولية ، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية .

الاعداد الأولية الأصغر من 100 هي : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

محتويات 1 تاريخ الأعداد الأولية 2 خصائص الأعداد الأولية 3 اختبارات أولية العدد 3.1 طريقة اريتاسثونيس 3.2 اختبار فيرما 4 أهمية واستخدامات الأعداد الأولية

[عدل] تاريخ الأعداد الأولية

تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية ، مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأن الاعداد الأولية كما سنرى بعد قليل . وقام الرياضي اليوناني اريتاسثونيس بدراسة الأعداد الأولية، ومع أننا لم نجد أي مخطوطاته، فقد أشار اليها علماء آخرون.

[عدل] خصائص الأعداد الأولية

• جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1 ، 3 ، 7 أو 9 لماذا ؟

لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب ( 0 ، 2 ، 4 ، 6 أو 8 ) هي من مضاعفات الاثنين فليست بالتأكيد أوليّة ، والأعداد التي تنتهي ب ( 0 أو 5 ) من مضاعفات الخمسة فليست أولية أيضاً .

• إذا كان لدينا عددان صحيحان أ و ب ، ولدينا عدد ثالث ج ، حيث ج عدد أولي . وكان حاصل ضرب العددين ( أ × ب ) يقبل القسمة على العدد ج ، فإن "أ" أو "ب" يقبل القسمة على ج هذه الخاصية تعرف أيضا ً بمبرهنة إقليدس.

[عدل] اختبارات أولية العدد

هناك أكثر من 15 اختبارا لمعرفة هل عدد معين أولي أم لا و من بينها:

اختبار ليكاس - ليهمر

طريقة اريتاسثونيس

اختبار فيرما المتربط بمبرهنة فيرما الصغرى

[عدل] طريقة اريتاسثونيس

تستعمل طريقة اريتاسثونيس لإيجاد الأرقام الأولية أقل من رقم معين. تقتضي هذه الطريقة بكتابة كل الأرقام الأقل من الرقم المعين (ص)، ومن ثم تعين رقم ط، ونبدأ بجعل ط=2، حاذفين كل مضاعفات ط حتى الرقم ص، ثم نجعل ط=3، ثم 4، 5، 6، الخ. نكمل هذه العملية حتى يصبح طxط أكبر من ص. كل الأرقام الباقية بعد الخذوفات هي ارقام أولية.

[عدل] اختبار فيرما

مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عدد أولي و a عدد أولي مع p, إذن :

عكس المبرهنة خاطئ, مثلا 561=3×11×17 ليس عدد أولي و مع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561, لدينا

لكن يمكن مع ذلك كتابة:

إذا كان p غير أولي فإن a^{p − 1} متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a

الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.

برمجة التشفير PGP, تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية. إذا كان: , فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.

إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1, في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.

[عدل] أهمية واستخدامات الأعداد الأولية

تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات و خاصة في علم التعمية. و من أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية نجد نظام التشفير RSA. لمزيد من المعلومات راجع التشفير و مشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.