عدد مركب

العدد العقدي أو العدد المركب هو أي عدد على الصورة: $a+bi\,$

حيث: "a" و "b" هما عددان حقيقيان و "i" هو عدد خيالي مربعه يساوي -1 (أي أن: i² = -1). ويسمي العدد الحقيقي "a" بالجزء الحقيقي، والعدد الحقيقي "b" بالجزء التخيلي. فمثلا، (3 + 2i) هو عدد مركب (عدد عقدي)، فيه 3 هو الجزء الحقيقي، و 2 هو الجزء التخيلي.

الشكل العام للعدد المركب

و عندما يكون "b" (أي الجزء التخيلي) مساويا ل 0، فإن قيمة العدد المركب (العدد العقدي) تساوي قيمة الجزء الحقيقي "a" فقط ، ويسمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا Purely real. وعندما يكون "a" (أي الجزء الحقيقي) مساويا ل 0، يكون العدد تخيليـًا صرفـًا Purely imaginary.

من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد المركبة، كالجمع والطرح والضرب والقسمة، بطريقة تماثل الأعداد الحقيقية مع بعض الاختلافات خاصةً في عملية القسمة، ولكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.

و أحيانـًا قد يُكتب العدد العقدي z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، وذلك باستخدام الرمز "j" بدلا من "i"، لأن "i" هو رمز التيار الكهربي)

طريقة كتابته باللغة العربية

a = س

b = ص

i = ت

شكل المعادلة العام:( س + ت ص )

حيث: "ت" هي الجذر التربيعي للعدد (-1)

أي أن: ت² = -1

التعريف

العدد العقدي هو الذي يتكون من عددين، أحدهما عدد حقيقي والآخر عدد تخيلي، ويكون مربع العدد التخيلي عددا سالبا.

تمثيل الأعداد المركبة

إذا فرضنا أن "z" هو عدد مركب، و "a" و "b" هما عددان حقيقيان، و "i" هو عدد تخيلي، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:

التمثيل الجبري

يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل:

$\,z=a+bi$

التمثيل الهندسي

يكتب العدد على شكل

$|z|*\cos\theta+ i*|z|\sin\theta\,$

حيث:

$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$

$\theta = \,tan^{-1}(b/a)$

التمثيل الأسي

يكتب العدد على شكل

$\,z=|z|.e^{i\theta}$

حيث:

$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$

$\theta = \,tan^{-1}(b/a)$

فهم الأعداد العقدية

عندما وجد الرياضاياتيون أن المعادلة (x² = -1) مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لا بد من وضع حل لها. وبما أن الرياضيات هي -وكما يقول أحد الرياضاتيين- العلم الذي لا نعرف فيه إن كان ما نقوله صحيحا أم لا، لذلك تمّ إيجاد عدد جديد هو العدد (تاء - "ت") بالعربية وباللاتينية العدد ("i"). وتعريف العدد "i" هو الجذر التربيعي للعدد "-1"، وهنا يكمن التعقيد. فمن المعلوم أنه ليس للعدد "-1" جذر تربيعي، ولكن هذا في الأعداد الحقيقية. فكما أنه لا وجود للعدد "-5" في الأعداد الطبيعية ولكنه موجود في الأعداد الصحيحة (والحال نفسه بالنسبة للعدد "i") فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تخضع للمنطق الرياضي ولا تنافي المبادئ الرياضية والموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات.

الحساب في مجموعة الأعداد العقدية

نفس العمليات والقواعد الحسابية في الأعداد الحقيقة $\mathbb R$ يمكن تطبيقها على الأعداد العقدية. باستعمال تجميعية الجمع وتوزيعية الضرب نحصل على ما يلي:

الجمع والطرح

تتم عملية الجمع كما يلي: $(a + bi)+(a' + b'i) = (a+a')+(b+b')i \,$

وكذلك عملية الطرح كما يلي: $(a + bi)-(a' + b'i) = (a-a')+(b-b')i \,$

يلاحظ أن الجزء الحقيقي للناتج هو محصلة الجزئين الحقيقيين للعددين، وبالمثل الجزء التخيلي للناتج هو محصلة الجزئين التخيليين للعددين.

الضرب

تتم عملية الضرب كما يلي:

$(a + bi) (a' + b'i) = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i \,$

القسمة

تتم عملية القسمة كما يلي:

$\frac{a + bi}{a' + b'i} = \frac{(aa'+bb')+i(a'b-ab')}{a'^2+b'^2}\,$

مرافق عدد عقدي

التمثيل الهندسي للعدد المركب$\,z$ ومرافقه $\bar{z}$ في المستوى المركب.

تعريف

مرافق العدد العقدي $x + yi\,$ هو العدد العقدي $x - yi\,$.

مرافق العدد العقدي z نرمز له بالرمز:$\bar{z}$

$|z| = \sqrt{x^2+y^2}$

$\phi = \,tan^{-1}(y/x)$

لاحظ أن ناتج عملية القسمة السابقة نحصل عليه بضرب كلا من البسط والمقام في العدد المرافق للمقام.

الأعداد المترافقة والعمليات

1. مرافق مجموع عددين عقديين هو مجموع مرافق كل من حدي المجموع.
2. مرافق حاصل ضرب عددين عقديين هو حاصل ضرب المرافقين لهذين العددين.

معيار عدد عقدي

الجذر التربيعي لحاصل ضرب عدد عقدي في مرافقه يسمى معيار العدد العقدي

لحق نقطة

تمثيل هندسي لعدد عقدي

المستوى $\mathcal{P}$ منسوب لمعلم متعامد، متجانس $(O; \vec{u}, \vec{v})$، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي $z \,$ جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالنقطة M التي زوج احداثياتها $(a, b) \,$ من $\mathcal{P}$، هو تطبيق تقابلي والعدد العقدي $a + bi\,$ يسمى 'لحق' النقطة M ويرمز له بالرمز $\mathrm{Aff}(M)\,$

لحق متجهة

المستوى المتجهي $\mathcal{V}$ منسوب لمعلم متعامد ممنظم، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالمتجهة $\vec u$ من $\mathcal{V}$ التي أفصولها a وأرتوبها b، هو تطبيق تقابلي والعدد العقدي $a + bi\,$ يسمى 'لحق' المتجهة $\vec u$.

وصلات خارجية

• الأبعاد: فيلم في الرياضيات. استخدام مفهوم الأعداد العقدية في توضيح الأبعاد العالية ونظرية الشواش بشكل خاص الفصلين الخامس والسادس