عدد عقدي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

اذهب إلى: تصفح, ابحث

العدد العقدي أو العدد المركب هو أي عدد على الصورة: a+bi\, حيث أن a و b هما عددان حقيقيان و i هو عدد تخيلي مربعه = -1. و يسمي العدد الحقيقي a بالجزء الحقيقي و العدد الحقيقي b بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد عقدي، فيه 3 هو الجزء الحقيقي، و 2 هو الجزء التخيلي.

و عندما يكون b (أي الجزء التخيلي) = 0، فإن قيمة العدد العقدي تساوي قيمة الجزء الحقيقي a فقط و سمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا Purely real. و عندما يكون a (أي الجزء الحقيقي) = 0، كان العدد تخيليـًا صرفـًا Purely imaginary.


من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد العقدية، كالجمع و الطرح و القسمة و الضرب، تمامًا كالأعداد الحقيقية، و لكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.

و أحيانـًا قد يكتب العدد العقدي z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، لأن i هو رمز التيار الكهربي)

فهرس

[تحرير] التعريف

العدد العقدي هو الذي يتكون من مجموع عددين، أحدهما عدد حقيقي و الآخر عدد تخيلي، و يكون مربع العدد التخيلي عدد سالب.

[تحرير] تمثيل الأعداد المركبة

إذا فرضنا أن z هو عدد مركب، و a و b هما عددان حقيقيان، و i هو عدد تخيلي، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:

[تحرير] التمثيل الجبري

يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل: \, لكن صيغته المهمة هي z = a + bi

[تحرير] التمثيل الهندسي

يكتب العدد على شكل \cos a+ i \sin a\,

[تحرير] التمثيل الأسي

يكتب العدد على شكل k .^ie\,

[تحرير] فهم الأعداد العقدية

عند ما وجد الرياضيون أن المعادلة (x²=-1)مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لا بد من أن يوضع لها حلاً وبما أن الرياضيات هي -وكما يقول أحد الرياضيين- العلم الذي لا نعرف فيه إن كان ما نوله صحيح أم لا. لذلك تم إيجاد عدد جديد هو العدد (تاء - ت )بالعربية وبلاتينية العدد(i)وتعريف العدد i هو الجذر التربيعي للعدد -1 .وهنا يكمن التعقيد فمن المعلوم انه ليس لعدد -1 جذر ولكن هذا في الأعداد الحقيقية فكما أنه لا وجود لعدد -5 في الأعداد الطبيعية ولكنه موجدود في الأعداد الصحيحة والحال نفسه بالنسبة لعدد i فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تضع للمنطق الرياضي لا تنافي المبادئ الرياضيةوالموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات

[تحرير] الحساب في مجموعة الأعداد العقدية

نفس العمليات و القواعد الحسابية في \mathbb R يمكن تطبيقها على الاعداد العقدية. باستعمال تجميعية الجمع و توزيعية الضرب نحصل على ما يلي:

[تحرير] الجمع

تتم عملية الجمع كما يلي:


(a + bi)+(a' + b'i) = (a+a')+(b+b')i \,

[تحرير] الضرب

تتم عملية الضرب كما يلي

(a + bi)  (a' + b'i) = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i \,

[تحرير] الخارج

تتم عملية القسمة كما يلي:

\frac{a + bi}{a' + b'i} = \frac{(aa'+bb')+i(a'b-ab')}{a'^2+b'^2}\,

[تحرير] مرافق عدد عقدي

[تحرير] تعريف

مرافق العدد العقدي a + bi\, هو العدد العقدي a - bi\, .

مرافق العدد العقدي z نرمز له ب:\bar{z}

[تحرير] الأعداد المترافقة و العمليات

  1. مرافق مجموع عددين عقديين هو مجموع مرافق كل من حدي المجموع
  2. مرافق جداء عددين عقديين هو جداء مرافق كل من حدي الجداء

[تحرير] معيار عدد عقدي

جدر مربع جداء عدد عقدي في مرافقه يسمى معيار العدد العقدي

[تحرير] التمثيل الهندسي للأعداد العقدية

[تحرير] لحق نقطة

تمثيل هندسي لعدد عقدي
تمثيل هندسي لعدد عقدي

المستوى \mathcal{P} منسوب لمعلم متعامد ممنظم مباشر (O; \vec{u}, \vec{v})، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي z  \, جزؤه الحقيقي a و جزؤه التخيلي b بالنقطة M التي زوج احداثياتها (a, b)  \, من \mathcal{P} ، هو تطبيق تقابلي و العدد العقدي a + bi\, يسمى 'لحق' النقطة M و يرمز له بالرمز \mathrm{Aff}(M)\,

[تحرير] لحق متجهة

المستوى المتجهي \mathcal{V} منسوب لمعلم متعامد ممنظم، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a و جزؤه التخيلي b بالمتجهة  \vec u من \mathcal{V} التي أفصولها a و أرتوبها b ، هو تطبيق تقابلي و العدد العقدي a + bi\, يسمى 'لحق' المتجهة  \vec u.

Image:Complex getal.png

أدوات شخصية