عدد عقدي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

العدد العقدي أو العدد المركب هو أي عدد على الصورة: $a+bi\,$ حيث أن a و b هما عددان حقيقيان و i هو عدد تخيلي مربعه = -1. و يسمي العدد الحقيقي a بالجزء الحقيقي و العدد الحقيقي b بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد عقدي، فيه 3 هو الجزء الحقيقي، و 2 هو الجزء التخيلي.

و عندما يكون b (أي الجزء التخيلي) = 0، فإن قيمة العدد العقدي تساوي قيمة الجزء الحقيقي a فقط و سمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا Purely real. و عندما يكون a (أي الجزء الحقيقي) = 0، كان العدد تخيليـًا صرفـًا Purely imaginary.

من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد العقدية، كالجمع و الطرح و القسمة و الضرب، تمامًا كالأعداد الحقيقية، و لكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.

و أحيانـًا قد يكتب العدد العقدي z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، لأن i هو رمز التيار الكهربي)

فهرس

1 التعريف
2 تمثيل الأعداد المركبة
3 الحساب في مجموعة الأعداد العقدية
4 مرافق عدد عقدي
- 4.1 تعريف
- 4.2 الأعداد المترافقة و العمليات
5 معيار عدد عقدي
- 5.1 التمثيل الهندسي للأعداد العقدية
6 لحق نقطة
7 لحق متجهة

[تحرير] التعريف

العدد العقدي هو الذي يتكون من مجموع عددين، أحدهما عدد حقيقي و الآخر عدد تخيلي، و يكون مربع العدد التخيلي عدد سالب.

[تحرير] تمثيل الأعداد المركبة

إذا فرضنا أن z هو عدد مركب، و a و b هما عددان حقيقيان، و i هو عدد تخيلي، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:

[تحرير] التمثيل الجبري

يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل: $\,$ لكن صيغته المهمة هي z = a + bi

[تحرير] التمثيل الهندسي

يكتب العدد على شكل $\cos a+ i \sin a\,$

[تحرير] التمثيل الأسي

يكتب العدد على شكل $k .^ie\,$

[تحرير] فهم الأعداد العقدية

عند ما وجد الرياضيون أن المعادلة (x²=-1)مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لا بد من أن يوضع لها حلاً وبما أن الرياضيات هي -وكما يقول أحد الرياضيين- العلم الذي لا نعرف فيه إن كان ما نوله صحيح أم لا. لذلك تم إيجاد عدد جديد هو العدد (تاء - ت )بالعربية وبلاتينية العدد(i)وتعريف العدد i هو الجذر التربيعي للعدد -1 .وهنا يكمن التعقيد فمن المعلوم انه ليس لعدد -1 جذر ولكن هذا في الأعداد الحقيقية فكما أنه لا وجود لعدد -5 في الأعداد الطبيعية ولكنه موجدود في الأعداد الصحيحة والحال نفسه بالنسبة لعدد i فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تضع للمنطق الرياضي لا تنافي المبادئ الرياضيةوالموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات

[تحرير] الحساب في مجموعة الأعداد العقدية

نفس العمليات و القواعد الحسابية في $\mathbb R$ يمكن تطبيقها على الاعداد العقدية. باستعمال تجميعية الجمع و توزيعية الضرب نحصل على ما يلي:

[تحرير] الجمع

تتم عملية الجمع كما يلي:

$(a + bi)+(a' + b'i) = (a+a')+(b+b')i \,$

[تحرير] الضرب

تتم عملية الضرب كما يلي

$(a + bi) (a' + b'i) = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i \,$

[تحرير] الخارج

تتم عملية القسمة كما يلي:

$\frac{a + bi}{a' + b'i} = \frac{(aa'+bb')+i(a'b-ab')}{a'^2+b'^2}\,$

[تحرير] مرافق عدد عقدي

[تحرير] تعريف

مرافق العدد العقدي $a + bi\,$ هو العدد العقدي $a - bi\,$ .

مرافق العدد العقدي $z$ نرمز له ب: $\bar{z}$

[تحرير] الأعداد المترافقة و العمليات

مرافق مجموع عددين عقديين هو مجموع مرافق كل من حدي المجموع
مرافق جداء عددين عقديين هو جداء مرافق كل من حدي الجداء

[تحرير] معيار عدد عقدي

جدر مربع جداء عدد عقدي في مرافقه يسمى معيار العدد العقدي

[تحرير] التمثيل الهندسي للأعداد العقدية

[تحرير] لحق نقطة

تمثيل هندسي لعدد عقدي

المستوى $\mathcal{P}$ منسوب لمعلم متعامد ممنظم مباشر $(O; \vec{u}, \vec{v})$ ، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي $z \,$ جزؤه الحقيقي a و جزؤه التخيلي b بالنقطة M التي زوج احداثياتها $(a, b) \,$ من $\mathcal{P}$ ، هو تطبيق تقابلي و العدد العقدي $a + bi\,$ يسمى 'لحق' النقطة M و يرمز له بالرمز $\mathrm{Aff}(M)\,$

[تحرير] لحق متجهة

المستوى المتجهي $\mathcal{V}$ منسوب لمعلم متعامد ممنظم، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a و جزؤه التخيلي b بالمتجهة $\vec u$ من $\mathcal{V}$ التي أفصولها a و أرتوبها b ، هو تطبيق تقابلي و العدد العقدي $a + bi\,$ يسمى 'لحق' المتجهة $\vec u$ .