عدد غراهام (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Wiki letter w.svg هذه المقالة يتيمة إذ لا تصل إليها مقالة أخرى. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها. (مايو 2013)


عدد غراهام ، الذى سمى باسم رونالد جراهام ، هو عدد كبير وهذا هو الحد الأعلى لحل المسائل الرياضية في نظرية رامزي.

هذا العدد اكتسب درجة عالية من الموثوقية الشعبية عندما وصفه مارتن غاردنر في قسم "الألعاب الرياضية" من مجلة العلوم في نوفمبر تشرين الثاني عام 1977، حيث كتب أن "في دليل غير منشور، لغراهام أنشأه مؤخرا ... أن إرتباطا يقفز مساحات بأنه يحمل الرقم القياسي لأكبر عدد أستخدم مطلقا منذ أى وقت مضى في البراهين الرياضية المعقدة ". أى في كتاب غينيس للارقام القياسية العالميةفي عام 1980 مع تكرار المطالبة من جانب جاردنر، إضافة إلى الاهتمام الشعبي لهذا العدد. وفقا للفيزيائي جون بايز، ابتكر غراهام القيمة المعروفة الآن بعدد غراهام في محادثة مع غاردنر نفسه. بينما كان غراهام يحاول شرح النتيجة في نظرية رامزي التى كان قد إستمدها مع BL روتشيلد الذي تعاون معه، ووجد أن قيمة غراهام المعروفة الآن بعدد غراهام أسهل للشرح من العدد الفعلي الذى يظهر في الإثبات لأن الرقم الذي وصفه غراهام لغاردنر هو أكبر من الرقم في الورقة نفسها، وكلاهما يمثلان الحدود العليا الصالحة لإيجاد حل لمعضلات نظرية رامسي التى يدرسها غراهام وروتشيلد.[1]

عدد غراهام هو رقم كبير أكبر بشكل لا يمكن تصوره أكبر من أى من الأعداد الكبيرة المعروفة مثل جووجل، جووجل بلكس، وحتى أكبر من رقم سكيويز و رقم موزر. في الواقع، مثل الثلاثة الأخيرة من هذه الأرقام، و ملاحظتها الكون هو أبعد ما يكون صغيرا جدا لبقعة عادية التمثيل الرقمي من عدد غراهام ، على افتراض أن كل رقم يحتل وحدة واحدة حجم بلانك.حتى أبراج الطاقة من النموذج \scriptstyle a ^{ b ^{ c ^{ \cdot ^{ \cdot ^{ \cdot}}}}} تتجاوز قيمة العدم لهذا الغرض، على الرغم من أنه يمكن وصفها بسهولة باستخدام الفورمولا التكرارية Knuth's up-arrow notation هى طريقة تدوين لأعداد صحيحة كبير جدا أو ما يعادلها، وقد تمت من قبل جراهام . العشرة أرقام الأخيرة من رقم غراهام هي ... 2464195387.

الأعداد الصحيحة المحددة المعروفة تكون أعظم بكثير من عدد غراهام وقد ظهرت في العديد من البراهين الرياضية الخطيرة (على سبيل المثال، في اتصال مع أشكال مختلفة من نهايات فريدمان نظرية كروسكال).

السياق[عدل]

مثال مكعب ثلاثى الأبعاد ثنائى اللون تحتوي على one single-coloured 4-vertex coplanar complete subgraph. يظهر رسم بياني ثانوي أدنى المكعب. لاحظ أن هذا المكعب سوف لا يحتوي على مثل هذا التمثيل البياني الثانوي إذا، استعيض عن الحافة السفلية على سبيل المثال، في التمثيل البياني الثانوي الحاضر بحافة زرقاء - مما يثبت بالدليل أن N *> 3

.ويرتبط عدد غراهام للمشكلة التالية في نظرية رمزي:

رقم جراهام ينسب إلى "رونالد جراهام" في نظرية "رامزي" ويشكل قيمة أسية كبيرة لعدد. واشتهر هذا الرقم بين العامة في عام 1977 عندما كتب عنه أحد الرياضيين واصفاً إياه بأنه: "أضخم رقم في العالم تم استخدامه في إثبات رياضي".

رقم جراهام يتخطى بكثير جداً أعلى الأرقام في العالم مثل جوجول وجوجول-بلكس أو سكيويز، ومن الصعب جداً تمثيل رقم جراهام كتابة لأنه يتمثل من عدد ذو قيمة أسية، والقيمة الأسية بدورها لها قيمة أسية أخرى، وهكذا دواليك (مثل: 5×10^8^500^845^1215... حيث تمثل علامة ^ الأُس) وحتى مثل هذا التمثيل يعتبر غير ذو جدوى للتعبير عن الرقم في شكله العلمي الصحيح. لاحقاً، ظهرت أرقاماً صحيحة أكبر من من رقم جراهام وتعدته بكثير أيضاً، في إثباتات رياضية جادة جداً (كمعادلة فريدمان وأعداد النهاية في نظرية كروسكال).

كانت المسألة الحسابية التي حاول جراهام حلها وكانت سبباً في هذا الرقم ما يلي: إذا كان لديك مضلعاً هائل العدد من الأضلاع (عدد الرؤوس في المضلع = ن)، ثم صل كل نقطتين فيه بخط، ليكون لديك مضلع عدد أضلاعه = 2^ن، ثم قم بتلوين كل ضلع إما باللون الأزرق أو الأحمر. فما هي أقل قيمة للمتغير (ن) بحيث يمكنك الحصول على وجه (مستطيل في المضلع) كافة أضلاعه ملونة بلون واحد (إما كلها زرقاء أو كلها حمراء). استطاع جراهام في النهاية أن يثبت أن هذه المسألة قابلة للحل وكانت حل المسألة هو (رقم جراهام). أمكن التعبير عن رقم جراهام في المجلة العلمية الأمريكية في مقال لمارتن جاردنر بطريقة "تدوين نوث الصاعد" على الشكل الموضح أدناه في الصورة.

أما الأرقام الموضحة أدناه فهي آخر 500 رقم على أقصى اليمين من عدد أو رقم جراهام: ...02425950695064738395657479136519351798334535362521

43003540126026771622672160419810652263169355188780
38814483140652526168785095552646051071172000997092
91249544378887496062882911725063001303622934916080
25459461494578871427832350829242102091825896753560
43086993801689249889268099510169055919951195027887
17830837018340236474548882222161573228010132974509
27344594504343300901096928025352751833289884461508
94042482650181938515625357963996189939679054966380
03222348723967018485186439059104575627262464195387

تعريف[عدل]

باستخدام تدوين نوسز-للسهم الأعلى، عدد غراهام G (على النحو المحدد في مقال جاردنر المجلةالعلمية الأمريكية ) هو


\left.
 \begin{matrix}
  G &=&3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\
    & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdots\cdots\cdots \uparrow}3 \\
    & &\underbrace{\qquad\;\; \vdots \qquad\;\;} \\
    & &3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots\cdot\cdot \uparrow}3 \\
    & &3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3
 \end{matrix}
\right \} \text{64 layers}

where the number of arrows in each layer, starting at the top layer, is specified by the value of the next layer below it; that is,

G = g_{64},\text{ where }g_1=3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3,\  g_n = 3\uparrow^{g_{n-1}}3,

and where a superscript on an up-arrow indicates how many arrows there are. In other words, G is calculated in 64 steps: the first step is to calculate g1 with four up-arrows between 3s; the second step is to calculate g2 with g1 up-arrows between 3s; the third step is to calculate g3 with g2 up-arrows between 3s; and so on, until finally calculating G = g64 with g63 up-arrows between 3s.

Equivalently,

G = f^{64}(4),\text{ where }f(n) = 3 \uparrow^n 3,

and the superscript on f indicates an iteration of the function, e.g., f 4(n) = f(f(f(f(n)))). Expressed in terms of the family of hyperoperations \scriptstyle \text{H}_0, \text{H}_1, \text{H}_2, \cdots, the function f is the particular sequence \scriptstyle f(n) \;=\; \text{H}_{n+2}(3,3), which is a version of the rapidly growing Ackermann function A(n,n). (In fact, \scriptstyle f(n) \;>\; A(n,\, n) for all n.) The function f can also be expressed in Conway chained arrow notation as \scriptstyle f(n) \;=\; 3 \rightarrow 3 \rightarrow n, and this notation also provides the following bounds on G:

 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 < G < 3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2.\,

Magnitude[عدل]

To convey the difficulty of appreciating the enormous size of Graham's number, it may be helpful to express—in terms of exponentiation alone—just the first term (g1) of the rapidly growing 64-term sequence. First, in terms of tetration (\scriptstyle \uparrow\uparrow) alone:


 g_1
  = 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3
  = 3 \uparrow \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow \uparrow 3)
  = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow \ \dots \ (3 \uparrow\uparrow 3) \dots ))

where the number of 3s in the expression on the right is

3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 \ = \ 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3).

Now each tetration (\scriptstyle\uparrow\uparrow) operation reduces to a "tower" of exponentiations (\scriptstyle \uparrow) according to the definition

3 \uparrow\uparrow X \ = \ 3 \uparrow (3 \uparrow (3 \uparrow \dots (3 \uparrow 3) \dots )) \ = \ 3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}} \quad \text{where there are X 3s}.

Thus,


 g_1
  = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow \ \dots \ (3 \uparrow\uparrow 3) \dots ))
  \quad \text{where the number of 3s is}
  \quad 3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3)

becomes, solely in terms of repeated "exponentiation towers",


 g_1 =
  \left.
    \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}}\end{matrix}
  \right \}
  \left.
    \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}\end{matrix}
  \right \}
    \dots
  \left.
    \begin{matrix}3^{3^3}\end{matrix}
  \right \}
    3
  \quad \text{where the number of towers is} \quad
  \left.
    \begin{matrix}3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}\end{matrix}
  \right \}
  \left.
    \begin{matrix}3^{3^3}\end{matrix}
  \right \}
    3

and where the number of 3s in each tower, starting from the leftmost tower, is specified by the value of the next tower to the right.

In other words, g1 is computed by first calculating the number of towers, n = 3↑3↑3↑...↑3 (where the number of 3s is 3↑3↑3 = 7625597484987), and then computing the nth tower in the following sequence:

      1st tower:  3
     
      2nd tower:  3↑3↑3 (number of 3s is 3) = 7625597484987
     
      3rd tower:  3↑3↑3↑3↑...↑3 (number of 3s is 7625597484987) = …
     
      ⋮
     
 g1 = nth tower:  3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑...↑3 (number of 3s is given by the n-1th tower)

where the number of 3s in each successive tower is given by the tower just before it. Note that the result of calculating the third tower is the value of n, the number of towers for g1.

The magnitude of this first term, g1, is so large that it is practically incomprehensible, even though the above display is relatively easy to comprehend. Even n, the mere number of towers in this formula for g1, is far greater than the number of Planck volumes (roughly 10185 of them) into which one can imagine subdividing the observable universe. And after this first term, still another 63 terms remain in the rapidly growing g sequence before Graham's number G = g64 is reached.

مراجع[عدل]