فتل

سيخ دائري يتعرض لعزم دوران الحـَـدْرَجـَـة من جهتين

إن عملية الحدرجة أو الفتل (بالإنكليزية: Torsion) هي واحدة من الجهود الرئيسية التي يمكن أن يخضع لها جسم مرن ما، إلى جانب الشد ، الضغط ، التننية والقصّ. الحـَـدْرَجـَـة تصف وتميـّـز التواء جسم مرن عندما يقع تحت تأثير عزم دوران الحدرجة.

سيخ أسطواني مكبوس في جدار من جهة وهو يتعرض لعزم دوران الحـَـدْرَجـَـة من جهة أخرى

ويتحقق إيجاد الإجهاد الناتج عن ذاك - وهو إجهاد القصّ (shear stress) - كالآتي:

الصنف : سيخ أسطواني بمساحة ثابتة لأي ّ مقطع متعامد للمحور $\mathcal{} z$ :

الأوضاع الجيومترية :

$\gamma(r)l = \varphi r$

فيها :

$\mathcal{} \gamma(r)$ : زاوية على السطح الأسطواني من السيخ ، وهي دالـّـة بحجـّـة $\mathcal{} r$

$\mathcal{} r$ : نصف قطر السيخ الأسطواني أو كعبرة السيخ الأسطواني

$\mathcal{} [r] = 1 m$

$\mathcal{} l$ : طول السيخ

$\mathcal{} [l] = 1 m$

$\varphi$ : زاوية الالتواء

إجهاد القصّ (shear stress) :

$\tau(r) = G \cdot \gamma(r) = G \varphi \cdot \frac{r}{l}$

فيها :

$\mathcal{} \tau(r)$ : إجهاد القصّ ، وهذا يعتبر دالـّـة بحجـّـة $\mathcal{} r$

$\mathcal{} [\tau] = 1 Nm^{-2}$

$\mathcal{} G$ : معامل القصّ (shear modulus)

$\mathcal{} [G] = 1 Nm^{-2}$

والكمـّـيـّـات الأخرى هي مذكورة سابقاً.

أمـّـا عزم دوران الحدرجة فهو يـُـكتسـَـب من توازن الأعزام :

$\mathcal {}\int_A r \cdot \tau(r) dA - T_t = 0$

فيها :

$\mathcal {}T_t$ : عزم دوران الحدرجة ، موجـّـه في المثل المختار تجاه المحور $\mathcal{} z$

$\mathcal{}[T_t] = 1 Nm$

$\mathcal {}A$ : مساحة مقطع السيخ - بمقطع ٍ الذي يأتي في المثل المختار هنا متعامد للمحور $\mathcal{} z$

$\mathcal{}[A] = 1 m^2$

وذلك يؤدّي إلى :

$\mathcal {}G \cdot \frac{\varphi}{l} \int_A r^2 dA - T_t = 0$

فيها :

$\mathcal {}I_p = \int_A r^2 dA$ : عزم مساحي قطبي للعطالة (polar area moment of inertia)

$\mathcal{}[I_p] = 1 m^4$

المعادلة الأخيرة تؤدّي مع معادلة أجهاد القصّ إلى :

$\mathcal {}\frac{\varphi}{l} = \frac{T_t}{GI_p}$

وذلك يسمح الحصول على زاوية الاِلتواء على الفور :

$\mathcal {}\varphi = \frac{T_t l}{GI_p}$

و يتمّ إيجاد إجهاد القصّ بمعادلة الإجهاد فوق :

$\mathcal {}\tau(r) = \frac{T_t}{I_p} \cdot r$

أنظر أيضاً

• جسم صلب (solid body)
• مرونة (elasticity)
• اهتزاز حدرجي (torsional vibration)

مصادر ومراجع

• Arthur P. Boresi, Richard J. Schmidt: Advanced mechanics of materials. 6th ed., Wiley, Hoboken, NJ 2003, ISBN 978-0-471-43881-6