قواعد الاشتقاق

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

فيما يلي سرد بتفاضلات العديد من الدوال الرياضية. .باعتبار أن f وg دوال قابلة للتفاضل, من أعداد حقيقية, وc عدد حقيقي. وهذه الصيغ كافية لمفاضلة أي دالة أساسية.

قواعد عامة في التفاضل[عدل]

التفاضل خطي[عدل]

\left({cf}\right)' = cf'
\left({f + g}\right)' = f' + g'

قاعدة الضرب[عدل]

\left({fg}\right)' = f'g + fg'

اشتقاق دالة هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين يساوي الأولى ضرب مشتقة الثانية + الثانية ضرب مشتقة الأولى.

\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0

ī

قاعدة المقلوب[عدل]

\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0

قاعدة القسمة[عدل]

\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0

قاعدة التسلسل[عدل]

(f \circ g)' = (f' \circ g)g'

مشتقة دالة المعكوس[عدل]

(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}

لأي دالة قابلة للتفاضل f لها قيم حقيقية, عندما تتواجد مركباتها ومعكوساتها.

قاعدة الاس العامة[عدل]

(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f> 0

مشتقات دوال بسيطة[عدل]

c' = 0 \,
x' = 1 \,
(cx)' = c \,
|x|' = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0
(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \, حيث كلا من  x^c\, و  cx^{c-1}\, هي دوال معرفة
\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}
\left({1 \over x^c}\right)' =  \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}
\left(\sqrt{x}\right)' =  \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}         , \qquad x> 0

مشتقات دوال أسية[عدل]

 \left(c^x\right)' = {c^x \ln c },\qquad c> 0

المعادلة السابقة صحيحة لأي c, ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

 \left(e^x\right)' = e^x
 \left(\log_c x\right)' = {1 \over x \ln c}, \qquad c> 0, c \ne 1

المعادلة السابقة صحيحة أيضا لأي c, ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

 \left(\ln x\right)'  = {1 \over x}, \qquad x \ne 0
 \left(\ln |x|\right)' = {1 \over x}
 \left(x^x \right)' = x^x(1+\ln x)

مشتقات دوال مثلثية[عدل]

 (\sin x)' = \cos x \,  (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,
 (\cos x)' = -\sin x \,  (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,
 (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} \,  (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,
 (\sec x)' = \sec x \tan x \,  (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,
 (\csc x)' = -\csc x \cot x \,  (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,
 (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} \,  (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,

مشتقات دوال زائدية[عدل]

(\sinh x)'= \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} (\operatorname{arsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
(\cosh x)'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} (\operatorname{arcosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
(\tanh x)'= \operatorname{sech}^2\,x (\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}
(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x (\operatorname{arsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x (\operatorname{arcsch}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 + x^2}}
(\operatorname{coth}\,x)' = -\,\operatorname{csch}^2\,x (\operatorname{arcoth}\,x)' = { -1 \over x^2-1}

مشتقات دوال خاصة[عدل]

دالة غاما

(\Gamma(x))' = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt (\Gamma(x))' = \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) = \Gamma(x) \psi(x)

دالة زيتا لريمان

(\zeta(x))' = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} =
-\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots
\!

(\zeta(x))' = -\sum_{p \text{ prime}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2}\prod_{q \text{ prime}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}} \!

نفرض ان f،g دالتين في المحهول X ، فنستطيع تلخيص قواعد الاشتقاق كالتالى :-

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]