قواعد الاشتقاق

مواضيع في الحسبان

المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة حسبان تفاضلي  اشتقاق تغير المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد: قاعدة القوة، قاعدة الضرب، قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل حسبان تكاملي  تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة التكامل بواسطة: التجزيء، الأقراص، الطبقات الأسطوانية، التعويض، التعويضات المثلثية، الكسور الجزئية، تغيير الرتب حسبان المتجهات  تدرج تباعد التواء لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد حسبان متعدد المتغيرات  حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي

فيما يلي سرد بتفاضلات العديد من الدوال الرياضية. .باعتبار أن f وg دوال قابلة للتفاضل, من أعداد حقيقية, وc عدد حقيقي. وهذه الصيغ كافية لمفاضلة أي دالة أساسية.

قواعد عامة في التفاضل

التفاضل خطي

مقال تفصيلي :خطية التفاضل

$\left({cf}\right)' = cf'$

$\left({f + g}\right)' = f' + g'$

قاعدة الضرب

$\left({fg}\right)' = f'g + fg'$

اشتقاق دالة هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين يساوي الأولى ضرب مشتقة الثانية + الثانية ضرب مشتقة الأولى.

$\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0$

ī

قاعدة المقلوب

$\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0$

قاعدة القسمة

$\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0$

قاعدة التسلسل

$(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$

مشتقة دالة المعكوس

$(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}$

لأي دالة قابلة للتفاضل f لها قيم حقيقية, عندما تتواجد مركباتها ومعكوساتها.

قاعدة الاس العامة

$(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f > 0$

مشتقات دوال بسيطة

$c' = 0 \,$

$x' = 1 \,$

$(cx)' = c \,$

$|x|' = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0$

$(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \,$ حيث كلا من $x^c\,$ و $cx^{c-1}\,$ هي دوال معرفة

$\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}$

$\left({1 \over x^c}\right)' = \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}$

$\left(\sqrt{x}\right)' = \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}} , \qquad x > 0$

مشتقات دوال أسية

$\left(c^x\right)' = {c^x \ln c },\qquad c > 0$

المعادلة السابقة صحيحة لأي c, ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

$\left(e^x\right)' = e^x$

$\left(\log_c x\right)' = {1 \over x \ln c}, \qquad c > 0, c \ne 1$

المعادلة السابقة صحيحة أيضا لأي c, ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

$\left(\ln x\right)' = {1 \over x}, \qquad x \ne 0$

$\left(\ln |x|\right)' = {1 \over x}$

$\left(x^x \right)' = x^x(1+\ln x)$

مشتقات دوال مثلثية

مقال تفصيلي :تفاضل دوال مثلثية

$(\sin x)' = \cos x \,$	$(\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\cos x)' = -\sin x \,$	$(\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} \,$	$(\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,$
$(\sec x)' = \sec x \tan x \,$	$(\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\csc x)' = -\csc x \cot x \,$	$(\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} \,$	$(\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,$

مشتقات دوال زائدية

$(\sinh x)'= \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$
$(\cosh x)'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arcosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$
$(\tanh x)'= \operatorname{sech}^2\,x$	$(\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}$
$(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x$	$(\operatorname{arsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$
$(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x$	$(\operatorname{arcsch}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 + x^2}}$
$(\operatorname{coth}\,x)' = -\,\operatorname{csch}^2\,x$	$(\operatorname{arcoth}\,x)' = { -1 \over x^2-1}$

مشتقات دوال خاصة

دالة غاما $(\Gamma(x))' = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt$ $(\Gamma(x))' = \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) = \Gamma(x) \psi(x)$

دالة زيتا لريمان $(\zeta(x))' = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} = -\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots \!$ $(\zeta(x))' = -\sum_{p \text{ prime}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2}\prod_{q \text{ prime}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}} \!$

نفرض ان f،g دالتين في المحهول X ، فنستطيع تلخيص قواعد الاشتقاق كالتالى :-

انظر أيضا

• مشتق (رياضيات)
• تفاضل,
• نهاية دالة,
• دالة رياضية,
• ملحق:قائمة الدوال الرياضية,
• دوال مثلثية,
• حساب المصفوفات