ملحق:قائمة المطابقات المثلثية

جميع الدوال المثلثية التي لها زاوية θ يمكن انشاؤها بالهندسة التحليلية بدلالة درائرة الوحدة التي مركزها عند  O.

الجيوب وجيوب التمام حول دائرة الوحدة

في علم الرياضيات، المطابقات أو المتطابقات المثلثية هي متساويات تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دور كبير في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة غاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

ملاحظات

• سيتم استخدام الرموز المتفق عليها عالميًا بدلا من العربية، مثلا جا(س) سوف تصبح (sin(x وذلك بغرض تسهيل الانتقال بين المقالات بكافة اللغات في هذه الموسوعة.
• لتجنب الالتباس حول (sin⁻¹(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (cosec(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.

الدالة		الدالة العكسية		المقلوب		معكوس المقلوب
جيب الزاوية	sin	قوس جيب الزاوية	arcsin	قاطع تمام الزاوية	csc	قوس قاطع التمام	arccsc
جيب تمام الزاوية	cos	قوس جيب الزاوية	arccos	قاطع الزاوية	sec	قوس قاطع الزاوية	arcsec
ظل الزاوية	tan	قوس ظل الزاوية	arctan	قاطع الظل	cot	قوس قاطع الظل	arccot

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

الدرجات	30	45	60	90	120	180	270	360
الراديان	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$	$2\pi/3$	$\pi$	$3\pi/2$	$2\pi$
غراد	33 ⅓	50	66 ⅔	100	133 ⅓	200	300	400

علاقات أساسية

متطابقة فيثاغورث الهندسية	$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,$
متطابقة النسبة	$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى.

الدالة	$(\sin \theta)$	$(\cos \theta)$	$(\tan \theta)$	$(\csc \theta)$	$(\sec \theta)$	$(\cot \theta)$
$\sin \theta =$	$\sin \theta\$	$\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\$	$\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\$	$\frac{1}{\csc \theta}\$	$\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\$
$\cos \theta =$	$\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\$	$\cos \theta\$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\$	$\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\$	$\frac{1}{\sec \theta}\$	$\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\$
$\tan \theta =$	$\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\$	$\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\$	$\tan \theta\$	$\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\$	$\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\$	$\frac{1}{\cot \theta}\$
$\csc \theta =$	$\frac{1}{\sin \theta}\$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\$	$\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\$	$\csc \theta\$	$\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\$	$\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\$
$\sec \theta =$	$\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\$	$\frac{1}{\cos \theta}\$	$\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\$	$\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\$	$\sec \theta\$	$\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\$
$\cot \theta =$	$\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\$	$\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\$	$\frac{1}{\tan \theta}\$	$\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\$	$\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\$	$\cot \theta\$

التطابق, الإزاحة, والدورية

من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

التطابق

تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF" ! انعكاس في $\theta=0$ ! انعكاس في $\theta= \pi/2$
(متطابقة مساعدة) ! انعكاس في $\theta= \pi$ |- |$\begin{align} \sin(-\theta) &= -\sin \theta \\ \cos(-\theta) &= +\cos \theta \\ \tan(-\theta) &= -\tan \theta \\ \csc(-\theta) &= -\csc \theta \\ \sec(-\theta) &= +\sec \theta \\ \cot(-\theta) &= -\cot \theta \end{align}$ |$\begin{align} \sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\ \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\ \tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\ \csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\ \sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\ \cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \end{align}$ |$\begin{align} \sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\ \cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\ \tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\ \csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\ \sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\ \cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\ \end{align}$ |}

الإزاحة والدورية

ازح بمقدار π/2	ازح بمقدار π للظل وقاطع الظل	ازح بمقدار 2π للجيب, جيب التمام, القاطع وقاطع التمام.
$\begin{align} \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\ \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\ \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\ \csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\ \sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\ \cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\ \sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\ \cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\ \end{align}$	$\begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\ \tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\ \csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\ \sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\ \cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta \end{align}$

متطابقات مجموع وفرق الزوايا

الجيب	$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,$
جيب التمام	$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,$
الظل	$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$
قوس الجيب	$\arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})$
قوس جيب التمام	$\arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})$
قوس الظل	$\arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)$

شكل المصفوفة

$\left[\begin{matrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{matrix}\right].$

جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية

$\sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) =\sum_{\mathrm{odd}\ k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2} \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}} \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)$

$\cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right) =\sum_{\mathrm{even}\ k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~ \sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}} \left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)$

ظلال مجاميع حدود محدودة

$\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},$

مثال:

$\begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) &{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}, \\ \\ \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4) &{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2 + e_4} \\ \\ &{}= \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)}{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4)},\end{align}$

وهكذا

قواطع مجاميع حدود محدودة

$\sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}$

مثلا,

$\sec(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma }.$

صيغ الزوايا المتعددة

Tn is the nth Chebyshev polynomial	$\cos n\theta =T_n (\cos \theta)\,$
Sn is the nth spread polynomial	$\sin^2 n\theta = S_n (\sin^2\theta)\,$
de Moivre's formula, $i$ is the Imaginary unit	$\cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,$

$1+2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx) = \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.$

(This function of x is the Dirichlet kernel.)

صيغ مضاعفات, ثلاثيات, وانصاف الزوايا

طالع أيضا :Tangent half-angle formula

Double-angle formulae
$\begin{align} \sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\,$	$\cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\,$
Triple-angle formulae
$\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta \,$	$\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \,$	$\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}$	$\cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}$
Half-angle formulae
$\sin \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$	$\cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$	$\begin{align} \tan \tfrac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \end{align}$	$\begin{align} \cot \tfrac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\ &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} \end{align}$

جيوب, جيوب التمام, وظلال زوايا متعددة

$\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)$

$\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)$

$\tan\,(n{+}1)\theta = \frac{\tan n\theta + \tan \theta}{1 - \tan n\theta\,\tan \theta}.$

$\cot\,(n{+}1)\theta = \frac{\cot n\theta\,\cot \theta - 1}{\cot n\theta + \cot \theta}.$

ظل المتوسط

$\tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2} \right) = \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} = -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}$

مضروب ايولر اللانهائي

$\cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right) = {\sin(\theta)\over \theta} = \operatorname{sinc}\,\theta.$

صيغ اختصار الأس

Sine	Cosine	Other
$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$	$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$	$\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$
$\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}$	$\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}$	$\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}$
$\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$	$\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$	$\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}$
$\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}$	$\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}$	$\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}$

	Cosine	Sine
$\mbox{if }n\mbox{ is odd}$	$\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}$	$\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}$
$\mbox{if }n\mbox{ is even}$	$\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}$	$\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}$

متطابقات التحويل من المجوع إلى المضروب والمضروب إلى المجموع

Product-to-sum $\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}$ $\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}$ $\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}$ $\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}$

$\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left(\frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left(\frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)$ $\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left(\frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left(\frac{\theta - \varphi}{2} \right)$ $\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)$

متطابقات أخرى ذات صلة

$\mbox{if }x + y + z = \pi = \mbox{half circle,}\,$

$\mbox{then }\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z).\,$

$\mbox{If }x + y + z = \pi = \mbox{half circle,}\,$

$\mbox{then }\sin(2x) + \sin(2y) + \sin(2z) = 4\sin(x)\sin(y)\sin(z).\,$

نظرية بتولمي

$\mbox{If }w + x + y + z = \pi = \mbox{half circle,} \,$

$\begin{align} \mbox{then } & \sin(w + x)\sin(x + y) \\ &{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\ &{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\ &{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z). \end{align}$

مركبات خطية

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,$

حيث

$\varphi = \begin{cases}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{if }a \ge 0, \\ \pi-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{if }a < 0, \end{cases}$

أو

$\varphi = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) + \begin{cases} 0 & \text{if }a \ge 0, \\ \pi & \text{if }a < 0. \end{cases}$

$a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,$

حيث

$c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \alpha},\,$

و

$\beta = \arctan \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right) + \begin{cases} 0 & \text{if } a + b\cos \alpha \ge 0, \\ \pi & \text{if } a + b\cos \alpha < 0. \end{cases}$

مجاميع أخرى للدوال المثلثية

$\sin{\varphi} + \sin{(\varphi + \alpha)} + \sin{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots + \sin{(\varphi + n\alpha)}=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \sin{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.$

$\cos{\varphi} + \cos{(\varphi + \alpha)} + \cos{(\varphi + 2\alpha)} + \cdots + \cos{(\varphi + n\alpha)}=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \cos{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.$

$a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cos(x - \operatorname{atan2}\,(b,a)) \;$

$\tan(x) + \sec(x) = \tan\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).$

$\cot(x)\cot(y) + \cot(y)\cot(z) + \cot(z)\cot(x) = 1.\,$

تحويلات كسرية خطية معينة

$f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha},$

وبالمثل

$g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta},$

وعليه

$f(g(x)) = g(f(x)) = \frac{(\cos(\alpha+\beta))x - \sin(\alpha+\beta)}{(\sin(\alpha+\beta))x + \cos(\alpha+\beta)}.$

$f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}. \,$

دوال المعكوس المثلثية

$\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;$

$\arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;$

$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{if }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{if }x < 0 \end{matrix}\right.$

مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها

$\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$	$\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$	$\cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

علاقة بالأس المركب

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,$ (صيغة ايولر),

$e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,$

$e^{i\pi} = -1\,$

$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;$

$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;$

$\tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

حيث $i^2 = -1$.

صيغة المضروب اللانهائي

$\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$

$\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$

$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

$\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

المتطابقات الخالية من المتغيرات

$\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}$

$\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.$

$\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8},$

$\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8}.$

$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.$

$\cos\left( \frac{2\pi}{21}\right) \,+\, \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \,+\, \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right)$

$\,+\, \cos\left(5\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \,+\, \cos\left(8\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \,+\, \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.$

حساب π

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

$\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}.$

بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة

$\begin{matrix} \sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & \sqrt{0}/2 & = & \cos 90^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {2} \right) \\ \\ \sin \left(\frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \sqrt{1}/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {3} \right) \\ \\ \sin \left(\frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {4} \right) \\ \\ \sin \left(\frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {6} \right)\\ \\ \sin \left(\frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & \sqrt{4}/2 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0 \end{matrix}$

قيم أخرى شيقة

$\sin{\frac{\pi}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{6}- \frac{\sqrt{7}}{189} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j+1)!}{189^j j!\,(2j+2)!} \!$

$\sin{\frac{\pi}{18}}= \frac{1}{6} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j)!}{27^j j!\,(2j+1)!} \!$

بـالنسبة الذهبية φ:

$\cos \left(\frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \varphi /2$

$\sin \left(\frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4} = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}$

التفاضل والتكامل

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0,$

${d \over dx}\sin x = \cos x$

$\begin{align} {d \over dx} \sin x & = \cos x ,& {d \over dx} \arcsin x & = {1 \over \sqrt{1 - x^2}} \\ \\ {d \over dx} \cos x & = -\sin x ,& {d \over dx} \arccos x & = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}} \\ \\ {d \over dx} \tan x & = \sec^2 x ,& {d \over dx} \arctan x & = { 1 \over 1 + x^2} \\ \\ {d \over dx} \cot x & = -\csc^2 x ,& {d \over dx} \arccot x & = {-1 \over 1 + x^2} \\ \\ {d \over dx} \sec x & = \tan x \sec x ,& {d \over dx} \arcsec x & = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \\ \\ {d \over dx} \csc x & = -\csc x \cot x ,& {d \over dx} \arccsc x & = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \end{align}\$

$\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{a^{2}+u^{2}}}=\frac{1}{a}\tan ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\frac{1}{a}\sec ^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C$

تعاريف أسية

Function	Inverse function
$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \,$	$\arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,$
$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,$	$\arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,$
$\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \,$	$\arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,$
$\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$	$\arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,$
$\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \,$	$\arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,$
$\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \,$	$\arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,$
$\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \,$	$\operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} \,$

متفرقات

نواة ديراك

$1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx) = \frac{ \sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\rbrack }{ \sin\left(\frac{x}{2}\right) }.$

صيغ امتدادات نصف الزاوية

اذا وضعنا

$t = \tan\left(\frac{x}{2}\right),$

$\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}\text{ and }\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\text{ and }e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}.$