قاعدة الضرب

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من قاعدة الجداء)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

في التحليل الرياضي، قاعدة الضرب (و تدعى أيضا قانون لايبنتز) قاعدة تستخدم لحساب إشتقاق حاصل ضرب دالتين قابلتين للإشتقاق :

لهذا يمكن أن نقول :

(fg)'=f'g+fg' \,

أو بترميز لايبنتز :

{\mathrm d\over\mathrm  dx}(uv)=u{\mathrm dv\over \mathrm dx}+v{\mathrm du\over \mathrm dx}.

أمتلة[عدل]

لنحسب تفاضل f(x)=\sin (x)\cos (x). حسب قاعدة الضرب لدينا:


\begin{align}{\mathrm d\over\mathrm  dx}\big[\sin(x)\cos(x)\big]&=\sin (x){\mathrm d\over \mathrm dx}\big[\cos(x)\big]+\cos(x){\mathrm d\over \mathrm dx}\big[\sin(x)\big] \\ &=-\sin^2(x)+\cos^2(x)\\&=1-2\sin^2(x).
\end{align}

برهان[عدل]

لتكن h(x)=f(x)g(x)، و نعتبر أن g'(x) و f'(x) موجودين. لدينا:

\begin{align}
h'(x) &= \lim_{a\to 0} \frac{h(x+a)-h(x)}{a} = \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x)}{a} \\
 &= \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x+a)+f(x)g(x+a)-f(x)g(x)}{a} \\ &= \lim_{a\to 0} \frac{[f(x+a)-f(x)] \cdot g(x+a) + f(x) \cdot [g(x+a)-g(x)]}{a} \\
&= \lim_{a\to 0} \frac{f(x+a)-f(x)}{a} \cdot \lim_{a\to 0} g(x+a)
+ \lim_{a\to 0} f(x) \cdot \lim_{a\to 0} \frac{g(x+a)-g(x)}{a} \\
&= f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
\end{align}


Nuvola apps edu mathematics-ar.svg
هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.