قاعدة لوبيتال

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

قاعدة أوبيتال في التحليل الرياضي تستعمل الاشتقاق بهدف إيجاد النهايات لصيغ غير محددة في معظم الكسور. تحمل هذه القاعدة اسم الرياضي الفرنسي قييوم دي أوبيتال.

محتويات

1 مبدأ نظرية اوبيتال
2 نص قواعد أوبيتال
3 الإستعمالات
4 الإستدلالات

[عدل] مبدأ نظرية اوبيتال

فليكن $a$ عددا حقيقيا أو حتى $\pm\infty$ ، بحيث تكون الدوال الحقيقية $f$ و $g$ معرّفة بقرب $a$ و $g$ مخالفة للصفر. لو حاولنا أن نحدد نهاية الكسر $f / g$ في a، بحيث يقترب كل من البسط و المقام، كلاهما نحو الصفر أو كلاهما نحو اللانهاية، فإننا نستطيع أن نشتقهما و نحدد نهاية كسر المشتقات. و لو كانت موجودة، فإن القاعدة تؤكد أن هذه النهاية

ستكون مساوية للنهاية التي نبحث عنها.

[عدل] نص قواعد أوبيتال

النص المبسط : في كتاب أوبيتال، القاعدة الموجودة هي تلك المستعملة عادة في حالة دالتين قابلتان للاشتقاق في a و حيث يكون الكسر $\frac {f'(a)}{g'(a)}$ معرّفا :

لو كان "f" و "g" دالتين قابلتان للاشتقاق في "a"، و مساويتين للصفر في a و حيث يكون الكسر $\frac{f'(a)}{g'(a)}$ معرّفا، فإن

$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac {f'(a)}{g'(a)}$ .

و لكن، يمكن استعمال قاعدة أوبيتال في حالات أعمّ.

التعميم الأول على دوال، بحيث $\frac {f'(a)}{g'(a)}$ غير موجود بالضرورة.

لو كان f و g دالتين قابلتان للاشتقاق على النطاق ]a ; b[ و حيث نهايتهما في a، و إذا كانت g'(x) لا تساوي صفرا على ]a ; b[ و إذا كان $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ فإن $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= L$ .

هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.

التعميم الثاني على دوال تكون نهاياتها في a لانهائية.

لو كان f و g دالتين قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[ و نهايتهما في a لا نهائية، و لو كانت المشتقة g'(x) مخالفة للصفر على ]a ; b[ و لو كانت $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ فإن $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= L$ .

هذه النتيجة صالحة سواء أكانت L نهاية حقيقية أو لا نهائية.

نفس القواعد موجودة لدوال معرّّفة على ]b ; a[.

تبقى المبرهنات صالحة عند تعويض a بـ $\pm \infty$ .

[عدل] الإستعمالات

في حالة « $0 / 0$ »، عادة ما نستعمل الصيغة الأولى :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2+3x} = \frac{\cos(0)}{2 \times 0 + 3} = \frac{1}{3}$

في حالة « ∞/∞ »، نستعمل الصيغة الثانية :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{2} = +\infty$

أحيانا، يجب استعمال قاعدة أوبيتال مرات عديدة للوصول إلى النتيجة :

$\lim_{x \to 0}\frac{\cos(2x) - 1}{x^3 + 5x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{-2\sin(2x)}{3x^2 + 10x} = \lim_{x \to 0}\frac{-4\cos(2x)}{6x + 10} = \frac{-2}{5}$

و قد يمكن إيجاد بعض النهايات، التي لا تظهر في شكل نهايات كسور، باستعمال هذه القاعدة :

$\lim_{x \to +\infty} x - \sqrt{x^2 - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\sqrt{1 - 1/x}}{1/x} = \lim_{h \to 0}\frac{1-\sqrt{1 - h}}{h}$

$\lim_{x \to +\infty} x - \sqrt{x^2 - x} = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-h}}}{1} = \frac{1}{2}$

نلاحظ أن الصيغ المعممة لا تعطينا إلا شروطا كافية لوجود النهاية. و بالتالي توجد حالات تكون فيها نهاية كسر المشتقات غير موجودة، في حين أن نهاية كسر الدوال

موجودة :

$\lim_{x \to 0}\frac{x^2\sin(1/x)}{x} = \lim_{x \to 0}x\sin(1/x) = 0$

في حين أن :

$\frac{2x\sin(1/x) - \cos(1/x)}{1}$ ليس لها نهاية في الصفر.

في النهاية، سنعتني بالتأكد من أن g'(x) مخالفة للصفر بقرب a، بمعنى آخر أن g لا تتذبذب كثيرا حول نهاياتها، و إلا فإن القاعدة لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، إذا كان :

$f(x)=x+\cos(x)\sin(x)\,$ و $g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x))\,$

، فإن

$f'(x) = 2\cos^2(x)\,$ و $g'(x) = e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))\,$

و بالتالي

$\lim_{x\to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cos(x)}{e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}=0$

و لكن

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{e^{\sin(x)}}$ لا تملك نهاية في $+ \infty$ لأن $\frac{1}{e^{\sin(x)}}$ تتذبذب بين 1/e و e.

[عدل] الإستدلالات

الإستدلال على الصيغة البسيطة

إنها عملية بسيطة على النهايات. بما أن f(a)=g(a)=0، فإن :

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\frac{x - a}{g(x) - g(a)}$

بما أن f et g قابلتان للاشتقاق في a و أن الكسر $\frac{f'(a)}{g'(a)}$ معرّف، نستطيع أن نؤكد أن

1. g'(a) مخالف للصفر، و بالتالي g(x) مخالف للصفر على نطاق ]a ; c]

2. $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\frac{x - a}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$

الإستدلال على التعميم الأول

يحتاج الاستدلال على التعميم الأول لـمبرهنة القيمة الوسطى : لو كان f و g قابلتان للاشتقاق على النطاق ]x ; y[ و متواصلة على [x ; y]، و لو كانت g'(x) مخالفة للصفر، فإنه يوجد عدد حقيقي c ينتمي إلى ]x ; y[ بحيث :

$\frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

و نستطيع أن نعرّف الدالتين بتواصلهما في a بوضع f(a) = g(a) = 0

بما أن g'(x) مخالفة للصفر على ]a ; b[، نستطيع أن نطبق مبرهنة القيمة الوسطى المعممة على النطاق [a ; x]

لكل عدد حقيقي x من ]a ; b[، يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ .

بما أن $\lim_{x \to a} c = a$ و أن $\lim_{x \to a} \frac{f'(a)}{g'(a)} = L$ ، فإنه بالمثل لـ $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ .

الإستدلال على التعميم الثاني

يحتاج الاستدلال على التعميم الثاني إلى نفس المبرهنة التي يجب استعمالها بحذر.

بما أن g'(x) مخالفة للصفر على النطاق ]a ; b[، لكل x و y مختلفتين من هذا النطاق، يمكننا إذن تطبيق مبرهنة القيمة الوسطى على النطاق [x ; y]

في كل نطاق [x ; y]، يوجد عدد حقيقي c من [x ; y] بحيث $\frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)}= \frac{f'(c)}{g'(c)}$

بما أن نهايات f و g لا متناهية في a، فإنه يوجد نطاق ]a ; a'[ تكون فيه g(x) مخالفة للصفر، و يمكن كتابة العبارة السابقة إذن بالطريقة الآتية :

$f(x) = (g(x) - g(y))\frac{f'(c)}{g'(c)} + f(y)$

$\frac{f(x)}{g(x)} = \left(1 - \frac{g(y)}{g(x)}\right )\frac{f'(c)}{g'(c)}+\frac{f(y)}{g(x)}$

بما أن $\lim_{t \to a} \frac{f'(t)}{g'(t)} = L$ ، و c تنتمي إلى ]a ; y[، فإننا نستطيع أن نختار y بحيث يكون $\frac{f'(c)}{g'(c)}$ قريبا من الصفر بقدر ما نريد لكل x من ]a ; a + r[.

للنهايات في $\pm \infty$ ، يكفي أن نضع x = 1/t و نحاول أن نجد نهاية في 0.

لتكن f و g دالتين معرّفتين على [M > 0 ; $+ \infty$ [، قابلتين للاشتقاق على ]M ; $+ \infty$ [، إذا كانت g'(x) مخالفة للصفر و كانت $\lim_{x \to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ فإن

$\lim_{x \to + \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{t \to 0^+}\frac{f(1/t)}{g(1/t)} = \lim_{t \to 0^+}\frac{(-1/t^2)f'(1/t)}{(-1/t^2)g'(1/t)} = \lim_{x \to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L$