قانون الأعداد الكبيرة

يقول قانون الأعداد الكبيرة بأن التردد النسبي لحادثة عشواء يقترب أكثر فأكثر من احتمالها النظري مع ازدياد عدد مرات إعادة تجربة عشواء۔

مثال

رمي درهم:

عدد الرميات	عدد ظهور الصورة		نسبة		البعد المطلق	البعد النسبي
	نظري	تطبيقي (مشاهد)	نظري	تطبيقي (مشاهد)
100	50	48	0٫500	0٫480	2	0٫020
1٬000	500	491	0٫500	0٫491	9	0٫009
10٬000	5٬000	4٬970	0٫500	0٫497	30	0٫003

قانون الأعداد الكبيرة الضعيف

يسمى قانون الأعداد الكبيرة الضعيف قانون خينتشين أيضا۔

مبرهنة — $\forall\varepsilon>0,\quad \lim_{n \to +\infty} \mathbb{P}\left(\left|\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n} -E(X)\right| \geq \varepsilon\right) = 0$

برهان

$\mathbb{P}(|Y - E(Y)|\geq \varepsilon) \leq \frac{V(Y)}{\varepsilon^2}$۔

إن للمتغير $Y_n = \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$ توقعا E(X) وتباينا $\frac{V(X)}{n}$۔ فلكل n :

$\mathbb{P}\left(\left|\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n} -E(X)\right| \geq \varepsilon\right) \leq \frac{V(X)}{n\varepsilon^2}$۔