قيمة فردية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

القيمة الفردية singular value أو s number التابع لدالة تحويل ما أو لعملية operator ما, هو مفهوم رياضياتي يستعمل في تحليل الدلالات functional analysis ولها تطبيقات في مجال نظرية النظم system theory.

مقاربة نظرية النظم[عدل]

في نظرية النظم عند دراسة دالة تحويل أنظمة ذات عدة مداخل وعدة مخارج لا يمكننا إجراء الدراسة على عناصر مصفوفة التحويل لأن ذلك يعقد المبرهنات وطرق بناء المتحكمات والأنظمة لأننا يجب أن ندرس كل دالة التحويل في كل عنصر من عناصر مصفوفة التحويل ثم تأثير العناصر على بعضها. ففي حال مثلا أخذنا مصفوفة من البعد 3x3 (نظام من هذا الحجم يعتبر صغيرا) فإنه لدينا 9 عناصر في مصفوفة التحويل يجب دراستها. الآن إذا أردنا استعمال طرائق صورية graphical methods لدراسة الاستقرار كطريقة نايكويست مثلا فإن ذلك يصير معقدا (لدينا 9 صور لكل عنصر أي دالة تحويل صورة). هنا يمكن الاستعانة بالقيمة الفردية العليا للمصفوفة. القيمة الفردية في هذه الحالة تكون عبارة عن القيمة المطلقة المشتقة الثانية induced 2 norm حيث أنه إذا إعتبرنا النظام A والمدخل x فإن المخرج يكون Ax والقيمة المطلقة المشتقة الثانية للنظام A تكون كالآتي:
{ }^{sup}_{x,x\neq 0}\frac{\left\|Ax\right\|_{2}}{\left\|x\right\|_{2}}=\sqrt{\lambda_{max}(AA^{T})}
حيث \left\|.\right\|_{2} هي القيمة المطلقة الإقليدية

القيمة الفردية العليا للنظام الذي يمكن فهمها على أنها أكبر تقوية للنظام في إتجاه معين (أطول شعاع) ويرمز لها عادة ب \overline{\sigma} كما يجدر الإشارة إلى أن كل تقويات النظام هي عبارة عن تمازج بين القيمة الدنيا والقيمة الفردية العليا

مقاربة رياضية[عدل]

رياضيا إذا كان لدينا عملية T أو تحويل compact operator يعمل على فضاء هيلبرت فإن القيمة الفردية التابعة له هي القيمة الذاتية ل \sqrt{TT^{T}} حيث T^{T} هي عملية transposition عقدية

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين. ساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.
Science-symbol-2.png هذه بذرة مقالة عن موضوع علمي تحتاج للنمو والتحسين. ساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.