كتلة مخفضة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

الكتلة المخفضة في الفيزياء (بالإنجليزية: Reduced mass) هي كتلة الجسم "الفعالة" عند التعامل مع نظام مكون من جسمين يتحركان طبقا لقانون نيوتن الثاني. وهي كمية تقدر بوحدة الكتلة وعن طريقها يمكن حل مسائل حركة جسيمين ومعاملتهما كما لو كانا يشكلان جسما واحدا ، وهي مبنية على مراعاة مركز الثقل بين الجسمين . وتستعمل حسابات الكتلة المخفضة في الحسابات الفلكية مثل دوران كوكب حول نجمه و دراسة حركة النجوم الثنائية ، وكذلك في الفيزياء الذرية لدراسة حركة الإلكترون حول نواة الذرة وغيرها.

يجب ملاحظة أن اعتبار الكتل المخفضة في حل مسائل الجاذبية بين جسمين لا تؤثر على قوة الجاذبية بينهما. وستبين المعادلات الآتية معني استخدام الكتل المخفضة في التعامل مع مسالة جسمين أثنين يتحركان و بينهما إما قوة الجاذبية أو مرتبطان بقوة كهرومغناطيسية.

باعتبار جسمين ، كتلة أحدهما m_{1}\!\, والآخر كتلته m_{2}\!\, يدوران حول مركز الثقل ، هذا النظام يكافئ نظام مكون من جسم واحد عندما ندرس حركته على أساس حركة مركز الثقل:

m=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\ ,\quad{1 \over m}= {1 \over m_1} + {1 \over m_2}\ .

وبحسب كتلة الجسم الأكبر m_1\ge m_2 تبلغ الكتلة المخفضة بين math>m_2/2</math> و m_2.

في مسائل حركة الكواكب أو حركة إلكترون في مجال كولوم حول نواة الذرة فإن كتلتي الجسمين في كل نظام قد تختلف اختلافا كبيرا . في تلك الحالة تصل الكتلة المخفضة للجسم الأصغر إلى كتلته ذاتها.

 m=\frac{m_2}{1+m_2/m_1} \approx m_2 (1- \frac{m_2}{m_1})\approx m_\mathrm 2\ .

في كتب الفيزياء يعبر عن الكتلة المخفضة بالرمز µ .


استنباط الكتلة المخفضة[عدل]

باعتبار وجود قوة تآثر بين الجسمين (تجاذب) يمكننا كتابة معادلات الحركة للجسمين حيث موقع الأول \vec{r}_1 وموقع الثاني \vec{r}_2 :

 m_1 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_1}{\mathrm{d}t^2}=\vec{F}\ ,\quad m_2 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_2}{\mathrm{d}t^2}=-\vec{F}\ .

وبجمع المعادلتين نحصل على مركز الثقل :

\vec{R}=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{M}\ ,\quad M = m_1+m_2\ ,

ومعادلة الحركة لجسم حر يتحرك بسرعة منتظمة ومستقيمة تكون :

M\,\ddot{\vec{R}} = 0

أو :

\vec{R}(t)=\vec{R}(0)+t\,\vec{v}(0)\

وبقسمة معادلة الحركة على كتلتي الجسمين وطرحهما من بعض ، نحصل على المسافة :

\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2

ومعادلة الحركة:

 \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} (\vec{r}_1-\vec{r}_2)=
(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}) \vec{F} = \frac{1}{m}\vec{F}\ ,\quad
m\,\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}= \vec{F}\ .

ونجد أنه يتحرك كما لو كان جسما واحدا ذو كتلة مخفضة مقدارها m تحت تأثير القوة \vec{F}\,.

وصلات خارجية[عدل]

اقرأ أيضا[عدل]

Science.jpg هذه بذرة مقالة عن الفيزياء بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.