كسر جزئي

في الرياضيات، التفكيك الكسري الجزئي (بالإنكليزية: partial fraction decomposition) هي طريقة تسمح بإعادة كتابة دالة على الشكل:

$\frac{f(x)}{g(x)}$

إلى شكل

$\sum \frac{a_n}{h_n(x)}$

حيث $f(x)$ و $g(x)$ متعددتا حدود و $a_{n}$ معاملات يتم تحديدها.

يوجد نوعان من الأمثلة:

• درجة البسط أقل من درجة المقام :

$\frac{2}{(3x+1)(x^2+2)}$ نقوم بقسمة المقام إلى أجزاء ونفرض قيم مثل A,B,c و درجة البسط الذي نضعه يكون أقل من درجة المقام ويكون الحل هكذا : $\frac{2}{(3x+1)(x^2+2)} = \frac{A}{(3x+1)}+\frac{Bx+c}{(x^2+2)}$ ثم نقوم بتوحيد المقمات وبما أن المقامات ستتساوي فنقوم بتسوية البسطين معا هكذا : $2=A+Bx+c$ ونضع قيم مختلفة للمتغير x ونحل المعادلة ونستخرج قيم A,B,C.

• درجة البسط أكبر من درجة المقام أو تساويها

$\frac{2x^2-9x-44}{2x^2-7x-15}$ نقوم باستخدام القسمة المطولة

$1$

---

|

2x^2-7x-15    |                      2x^2-9x-44
-2x^2+7x+15                    |--------------------------

---

-x-29 

$I=1+\frac{-2x-29}{2x^2-7x-15}$

وهكذا تكون في النهاية

$I=1+\frac{-2x-29}{2x^2-7x-15} = 1+\frac{Ax+C}{2x^2-7x-15}$

ثم نساوي $-2x-29 = Ax+C$ ونضع قيما مختلفة للمتغير x و نحسب قيم A,C وتصبح هكذا $1+\frac{Ax+C}{2x^2-7x+15}$ ونضع قيم A,C.