لابلاسي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

مؤثر لابلاس أو لابلاسيان (بالإنكليزية: Laplace operator) ورمزه \nabla^2 أو \Delta إحدى المؤثرات التفاضلية وهو من المؤثرات المهمة في مجال حسبان المتجهات وكذلك حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات وسمى المؤثر بهذا الاسم عرفانا للعالم الرياضياتي الفرنسي بيير لابلاس [1]

التعريف[عدل]

وفقا لتعريف لابلاس تمثل "نابلا" (\nabla.) معدل تغير دالة بالنسبة لتغير في إحداثيات المكان ، أي تدرج دالة (\nabla A). ويعبر عن هذا التعريف بالصياغة الرياضية كالتالي:

\Delta A = \nabla^2 A= \nabla \cdot \nabla A    

واللابلاسيان مؤثر تفاضلي يعمل على قيمة سلمية وينتج عنه كذلك قيمة سلمية.

لابلاسيان في الإحداثيات[عدل]

في بعدين ٢د[عدل]

يعطى اللابلاسيان في إحدايات من بعدين (x,y)حسب العلاقة:

\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

حيث أن x and y المتغيران القياسيين في الإحداثيات الديكارتية لـمستوي xy.

أما في الإحداثيات القطبية,

\begin{align}
 \Delta f 
&= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left(r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\\
&= {1 \over r} {\partial f \over \partial r} 
+ {\partial^2 f \over \partial r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
.
\end{align}

في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد ٣د[عدل]

في الإحداثيات الديكارتية,


\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.

في الإحداثيات الإسطوانية,

 \Delta f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left(\rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }.

في الإحداثيات الكروية:

مقارنة بين نظام الإحداثيات الكروي ونظام احداثيات الثلاثة ابعاد (z , y, x).
 \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \varphi} {\partial \over \partial \varphi}
  \left(\sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \varphi} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}.

(هنا على غير المألوف θ تعبر عن زاوية السمت فيما تعبر φ عن زاوية سمت الرأس).

في الشكل العام من الإحداثيات الانحنائية ( \xi^1, \xi^2, \xi^3 ):

\nabla^2 = \nabla \xi^m \cdot \nabla \xi^n {\partial^2 \over \partial \xi^m \partial \xi^n} + \nabla^2 \xi^m {\partial \over \partial \xi^m },

اقرأ أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ المشتقات