لابلاسي

مؤثر لابلاس أو لابلاسيان (بالإنكليزية: Laplace operator) ورمزه $\nabla^2$ أو $\Delta$ إحدى المؤثرات التفاضلية وهو من المؤثرات المهمة في مجال حسبان المتجهات وكذلك حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات وسمى المؤثر بهذا الاسم عرفانا للعالم الرياضياتي الفرنسي بيير لابلاس

التعريف

وفقا لتعريف اللابلاسيان فإنه مكافئ تباعد ($\nabla.$) تدرج دالة ما ($\nabla A$). ويعبر عن هذا التعريف بالصياغة الرياضية كالتالي:

$\Delta A = \nabla^2 A= \nabla \cdot \nabla A$   

واللابلاسيان مؤثر تفاضلي يعمل على قيمة سلمية وينتج عنه كذلك قيمة سلمية.

لابلاسيان في الإحداثيات

في بعدين ٢د

يعطى اللابلاسيان في إحدايات من بعدين (x,y)حسب العلاقة:

$\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

حيث أن x and y المتغيران القياسيين في الإحداثيات الديكارتية لـمستوي xy.

أما في الإحداثيات القطبية,

$\begin{align} \Delta f &= {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left(r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\\ &= {1 \over r} {\partial f \over \partial r} + {\partial^2 f \over \partial r^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} . \end{align}$

في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد ٣د

في الإحداثيات الديكارتية,

$\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.$

في الإحداثيات الإسطوانية,

$\Delta f = {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho} \left(\rho {\partial f \over \partial \rho} \right) + {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }.$

في الإحداثيات الكروية:

$\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \varphi} {\partial \over \partial \varphi} \left(\sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \varphi} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}.$

(هنا على غير المألوف θ تعبر عن زاوية السمت فيما تعبر φ عن زاوية سمت الرأس).

في الشكل العام من الإحداثيات الانحنائية ($\xi^1, \xi^2, \xi^3$):

$\nabla^2 = \nabla \xi^m \cdot \nabla \xi^n {\partial^2 \over \partial \xi^m \partial \xi^n} + \nabla^2 \xi^m {\partial \over \partial \xi^m },$