لوغارتم طبيعي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
منحنى دالة اللوغارتم الطبيعي. تصعد الدالة بشكل بطئ إلى زائد ما لا نهاية له عندما يصير x كبيرا، بينما تذهب إلى ناقص ما لا نهاية له بسرعة كبيرة عندما يقترب x من الصفر. محور الأراتيب هو خط مقارب للدالة.
Logarithme népérien.png

دالة اللوغاريتم الطبيعي أو النبيري هي دالة اللوغاريتم للأساس e. وهي الدالة الاصلية للدالة x\mapsto 1/x على ]0 ; + \infty[ وتنعدم في 1.نرمز ل هذه الدالة ب Log (عدم الخلط مع log والتي ترمز لدالة اللوغاريتم العشري) أو ln بصفة عامة :

التاريخ[عدل]

اتفاق حول الرموز[عدل]

مصدر تسمية اللوغارتم الطبيعي[عدل]

تعريفات[عدل]

يعرف (ln(a بالمساحة الملونة الموجودة تحت منحنى الدالة f(x) = 1/x ابتداء من 1 حتى a.

\forall x \in \R^*_+,\ \ln(x)=\int_1^x \frac{1}{t}\mathrm{d}t

خاصيات[عدل]

اتصال ورتابة دالة اللوغاريتم الطبيعي[عدل]

نستنتج مما سبق ان الدالة ln معرفة على ]0 ; + \infty[ وقابلة للاشتقاق على هذا المجال و:

\forall x \in \R^*_+,\ \ln'(x) = \frac 1x

و منه الدالة ln متصلة على ]0 ; + \infty[و بما ان مشتقتها موجبة قطعا فانها تزايدية قطعا على ]0 ; + \infty[

عمليات على دالة اللوغاريتم الطبيعي[عدل]

لتكن f دالة معرفة ب \ f(x) = \ln(ax) حيث a و x عددان موجبان قطعا. مشتقة هي نفس مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي اي ان :

\ f(x) = \ln(x)+k \ / \ k \in \ R

و بما ان : f(1) =k فان : ln(a)=k اذن وبصفة عامة :

  • \forall (a;b)\in ]0 : + \infty[^2,\ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)

من هذه الخاصية نستنتج الخاصيات التالية :

  • \forall (a;b)\in ]0 : + \infty[^2,\ \ln\left(\frac ab\right) = \ln(a) - \ln(b)
  • \forall a \in ]0 ; + \infty[,\ \forall n \in \mathbb Z,\ \ln(a^n) = n \ln(a) \quad
  • \forall a \in ]0 ; + \infty[,\ \forall r \in \mathbb Q,\ \ln(a^r) = r \ln(a)*
  • \forall (a_1,a_2,....,a_k) \in ]0 : + \infty[^k,\ \sum_{n = 1}^{k}ln(a_n)= ln(\prod_{n=1}^k a_n)

الاشتقاق ومتسلسلات تايلور[عدل]

دالة اللوغارتم الطبيعي في التكامل[عدل]

قيم عددية[عدل]

الكسور المستمرة[عدل]

اللوغارتم العقدي[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.