مبرهنة الأعداد الأولية

في نظرية الأعداد, مبرهنة الأعداد الأولية هي نتيجة تهم كثافة توزيع الأعداد الأولية.

نص المبرهنة

رسم بياني يقارن (π(x (باللون الأحمر) وx / ln x (باللون الأخضر) و(Li(x (باللون الأزرق)

نعرف, لكل عدد حقيقي موجب x,π(x) كالدالة المعدة للأعداد الأولية الأصغر من x. مبرهنة الأعداد الأولية هي كالآتي :

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}$

حيث (ln(x هو اللوغارتم الطبيعي ل x ; بالنسبة ل $\sim$, انظر مفهوم لاندو.

لائحة قيم (π(x و (x/ln(x و (li(x

انظر الجدول :

x	(π(x	π(x) − x / ln x	π(x) / (x / ln x)	(li(x) − π(x	(x/π(x
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
102	25	3.3	1.151	5.1	4.000
103	168	23	1.161	10	5.952
104	1,229	143	1.132	17	8.137
105	9,592	906	1.104	38	10.425
106	78,498	6,116	1.084	130	12.740
107	664,579	44,158	1.071	339	15.047
108	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	1.020	7,250,186,216	51.939
OEIS	قالب:OEIS link	قالب:OEIS link		قالب:OEIS link

احسن نتيجة تقريبية, هي تحسين للخطأ, معطاة بالصيغة التالية :

$\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{\sqrt{\ln(x)}}{15}}\right)$

لقيم كبيرة ل x (Li هي الدالة لوغاريثم تكامل).

مبرهنة الأعداد الأولية تعطي معلومات حول توزيعية nرتبة عدد أولي

p(n)

$p(n)\sim n\ln(n).$

كما يمكن استنتاج ان الاحتمال ليكون عدد طبيعي n عشوائي عدد أولي هو 1/ln(n).

حدست مبرهنة الأعداد الأولية بواسطة عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس عام 1792 وكان عمره 15 سنة وبواسطة أدريان ماري ليجاندر عام 1798. وتمت البرهنة عليها بواسطة جاك هادامار وشارل-جون عام 1896.

البرهنة تستعين بطرق التحليل العقدي, وبخاصة دالة زيتا.

بسبب العلاقة الموجودة بين دالة زيتا وπ(x), فرضية ريمان ذات اعتبار مهم مبرهنة الأعداد : إذا تم البرهنة عليها, ستعطي احسن تنبؤ بنسبة الخطأ الناتجة عن مبرهنة الأعداد الأولية

هلغ فون كوخ في 1901 بين, بكيفية أدق, إذا كانت فرضية ريمان صحيحة, نسبة الخطأ تتحسن بالصيغة التالية :

$\pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln (x)\right)$

انظر أيضا

• نظرية الأعداد التحليلية التجريدية,
• مبرهنة المثالي الأولي للاندو.