مبرهنة بايز

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

مبرهنة بايز هي إحدى نتائج نظرية الاحتمالات الهامة التي تعطي التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي A مع العلم بالمتغير العشوائي B, وذلك بدلالة التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي B مع العلم ب A والتوزع الاحتمالي للمتغيرين A وB.

سميت هاته المبرهنة هكذا نسبة إلى توماس بايز.

برهان مبدئي لمبرهنة بايز[عدل]

مجموعات جزئية من فضاء العينة S

لنفرض أن الأحداث A1 و A2 و A3 و A4 و A5... تشكل تجزيئا لفضاء العينة S. أي أن A1 و A2 و A3 و A4 و A5 مجموعات جزئية من فضاء العينة S متنافية مثنى مثنى (لا يوجد تقاطع بين أي اثنين منها, واجتماعها جميعها يشكل فضاء العينة بكامله). لنفرض أن حدثا ضمن فضاء العينة B (المنطقة المظللة) فإن :

B = (S \cap B) = () \cap B = (A1 \cap B) \cup (A2 \cap B) \cup (A3 \cap B) \cup (A4 \cap B) \cup (A5 \cap B)

و بما أن A1 و A2 و A3 و A4 و A5 متنافية مثنى مثنى فإن الأحداث B \cap Ai متنافية أيضا مثنى :

 P(B) = P(A1 \cap B)+ P(A2 \cap B) + P(A3 \cap B) + P(A4 \cap B) + P(A5 \cap B)

باستخدام علاقة الاحتمال الشرطي :

 P(B) = P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4) + P(B|A5) P(A5)

مقولات مبرهنة بايز[عدل]

تقوم مبرهنة بايز بربط الاحتمالات الشرطية conditional والاحتمالات الحافية marginal probabilities, لكي نقوم باستنتاج هذه المبرهنة, لا بد لنا أن نبدأ من تعريف الاحتمال الشرطي:

P(A|B) P(B) = P(A \cap B) = P(B|A) P(A)\,

و هو ما يقرأ(جداء الاحتمال الشرطي ل A بمعرفة B في احتمال B) يعطي احتمال حدوث A وB معا وهو يساوي أيضا (جداء الاحتمال الشرطي ل B بمعرفة A في احتمال A).

باعتبار P(B) ليس معدوما نقوم بقسمة طرفي المعادلة السابقة عليه:

P(A|B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)}

و هو نص ما يعرف عادة بمبرهنة بايز.

تقرأ : " الاحتمال الشرطي للحدث A بمعرفة الحدث B يساوي إلى احتمال B بمعرفة A مضروبا باحتمال A مقسوما على احتمال B. "

انظر أيضا[عدل]


Nuvola apps kchart.png هذه بذرة مقالة عن علم الإحصاء \ نظرية الاحتمالات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.