مبرهنة بايز

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

مبرهنة بايز هي إحدى نتائج نظرية الاحتمالات الهامة التي تعطي التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي A مع العلم بالمتغير العشوائي B, وذلك بدلالة التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي B مع العلم ب A والتوزع الاحتمالي للمتغيرين A وB.

أخذت المبرهنة هذا الإسم نسبة إلى توماس بايز الذي توصل الى النتائج الأولية التي أستخدمت فيما بعد للحصول على المبرهنة بشكلها النهائي، فقد قام الرياضي الفرنسي لابلاس بإستخراج المعادلات المبنية على أساس الإحتمالات وهو الشكل النهائي الذي إنتشرت فيه هذه المبرهنة بعد ان قام بايز بكتابتها بالتكاملات.

برهان مبدئي لمبرهنة بايز[عدل]

مجموعات جزئية من فضاء العينة S

لنفرض أن الأحداث A1 و A2 و A3 و A4 و A5... تشكل تجزيئا لفضاء العينة S. أي أن A1 و A2 و A3 و A4 و A5 مجموعات جزئية من فضاء العينة S متنافية مثنى مثنى (لا يوجد تقاطع بين أي اثنين منها, واجتماعها جميعها يشكل فضاء العينة بكامله). لنفرض أن حدثا ضمن فضاء العينة B (المنطقة المظللة) فإن :

B = (S \cap B) = () \cap B = (A1 \cap B) \cup (A2 \cap B) \cup (A3 \cap B) \cup (A4 \cap B) \cup (A5 \cap B)

و بما أن A1 و A2 و A3 و A4 و A5 متنافية مثنى مثنى فإن الأحداث B \cap Ai متنافية أيضا مثنى :

 P(B) = P(A1 \cap B)+ P(A2 \cap B) + P(A3 \cap B) + P(A4 \cap B) + P(A5 \cap B)

باستخدام علاقة الاحتمال الشرطي :

 P(B) = P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3) + P(B|A4) P(A4) + P(B|A5) P(A5)

مقولات مبرهنة بايز[عدل]

تقوم مبرهنة بايز بربط الاحتمالات الشرطية conditional والاحتمالات الحافية marginal probabilities, لكي نقوم باستنتاج هذه المبرهنة, لا بد لنا أن نبدأ من تعريف الاحتمال الشرطي:

P(A|B) P(B) = P(A \cap B) = P(B|A) P(A)\,

و هو ما يقرأ(جداء الاحتمال الشرطي ل A بمعرفة B في احتمال B) يعطي احتمال حدوث A وB معا وهو يساوي أيضا (جداء الاحتمال الشرطي ل B بمعرفة A في احتمال A).

باعتبار P(B) ليس معدوما نقوم بقسمة طرفي المعادلة السابقة عليه:

P(A|B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)}

و هو نص ما يعرف عادة بمبرهنة بايز.

تقرأ : " الاحتمال الشرطي للحدث A بمعرفة الحدث B يساوي إلى احتمال B بمعرفة A مضروبا باحتمال A مقسوما على احتمال B. "

انظر أيضا[عدل]


Nuvola apps kchart.png
هذه بذرة مقالة عن علم الإحصاء \ نظرية الاحتمالات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.