مبرهنة ستيوارت

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
مبرهنة ستيوارت

في الهندسة الرياضية، تظهر مبرهنة ستيوارت العلاقة بين أطوال أضلاع مثلث وطول القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس من رؤوسه والضلع المقابل لهذا الرأس.

إذا كانت a, b, c أضلاع مثلث ِABC، وكانت p قطعة مستقيمة من الرأس A إلى نقطة تقسم الضلع a إلى y و x عندها تعطى المبرهنة بالشكل التالي:

b^2 x + c^2 y = a (p^2 + x y) \,

البرهان[عدل]

بتطبيق قانون جيب التمام نجد أن:

 b^2 = p^2 + y^2 - 2py\cos\theta \,

و  c^2 = p^2 + x^2 - 2px\cos(180 - \theta ) \,

بضرب المعادلة الأولى بـ x و المعادلة الثانية بـ y ينتج أن:

 b^2x = p^2x + y^2x - 2pxy\cos\theta \,

 c^2y = p^2y + x^2y - 2pxy\cos(180 - \theta ) \,

من خواص دالة الجيب التمام أن: \cos\alpha= -\cos{(\pi-\alpha)} \,

\Rightarrow \cos\theta = -\cos{(180-\theta )} \Rightarrow - 2pxy\cos\theta = + 2pxy\cos(180 - \theta )

و لهذا السبب عند جمع المعادلتين سيختفي - 2pxy\cos\theta , - 2pxy\cos(180 - \theta) \, وسيبقى:

 b^2x + c^2y = p^2x + p^2y + y^2x + x^2y \,
\Rightarrow b^2x + c^2y = p^2( x + y ) + xy(y+x) \,


x+y = a \because

\Rightarrow b^2x + c^2y = p^2a + xya = a (p^2 + x y) \,

و هو المطلوب.

اقرأ أيضاً[عدل]