مبرهنة غرونويل

سمي مبرهنة كرونويل، في الرياضيات، باسم واضعها الرياضي توماس هاكن غرونويل (1877-1932)، سنة 1919، وتمكّن هذه المبرهنة من إيجاد دالة مقرّبة، للامساواة اشتقاقية ما. توجد المبرهنة في صيغتين : تكاملية، واشتقاقية.

تعتبر مبرهنة غرونويل آداة الحصول على عدة حلول مقرّبة لمعادلات اشتقاقية عادية. وبالخصوص، تستعمل المبرهنة للبرهنة على وحدة الحل لمشكلة كوشي، عبر مبرهنة كوشي-ليبشيتز.

الصيغة التكاملية

لو كانت، لكل $t_0\leq t\leq t_1$، $\phi(t)\geq 0$ و$\psi(t)\geq 0$ دالتين مستمرتين حيث :

$\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s$

لكل $t_0\leq t\leq t_1$، حيث $K$ و$L$ ثابتين موجبين فإن :

$\phi(t)\leq K\exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)$

لكل $t_0\leq t\leq t_1$

الصيغة الاشتقاقية

إذا كانت هذه العلاقة صحيحة :

$\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s$

فإن لدينا اللامساواة التالية :

$\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} (t) \leq L \psi(t) \phi (t).$

و هو ما يتيح لنا أن نستنتج أن

$\phi(t)\leq \phi(t_0) \exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)$

لكل $t_0 \leq t \leq t_1.$