مبرهنة غرونويل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

سمي مبرهنة كرونويل، في الرياضيات، باسم واضعها الرياضي توماس هاكن غرونويل (1877-1932)، سنة 1919، وتمكّن هذه المبرهنة من إيجاد دالة مقرّبة، للامساواة اشتقاقية ما. توجد المبرهنة في صيغتين : تكاملية، واشتقاقية.

تعتبر مبرهنة غرونويل آداة الحصول على عدة حلول مقرّبة لمعادلات اشتقاقية عادية. وبالخصوص، تستعمل المبرهنة للبرهنة على وحدة الحل لمشكلة كوشي، عبر مبرهنة كوشي-ليبشيتز.

الصيغة التكاملية[عدل]

لو كانت، لكل t_0\leq t\leq t_1، \phi(t)\geq 0 و\psi(t)\geq 0 دالتين مستمرتين حيث :

\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s

لكل  t_0\leq t\leq t_1، حيث K وL ثابتين موجبين فإن :

\phi(t)\leq K\exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)

لكل  t_0\leq t\leq t_1

الصيغة الاشتقاقية[عدل]

إذا كانت هذه العلاقة صحيحة :

\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s

فإن لدينا اللامساواة التالية :

\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} (t) \leq L \psi(t) \phi (t).

و هو ما يتيح لنا أن نستنتج أن

\phi(t)\leq \phi(t_0) \exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)

لكل  t_0 \leq t \leq t_1.

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.