مبرهنة غرونويل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Commons-emblem-issue.svg بعض المعلومات الواردة هنا لم تدقق وقد لا تكون موثوقة بما يكفي، وتحتاج إلى اهتمام من قبل خبير أو مختص. ساعد بتدقيق المعلومات ودعمها بالمصادر اللازمة.

سمي مبرهنة كرونويل، في الرياضيات، باسم واضعها الرياضي توماس هاكن غرونويل (1877-1932)، سنة 1919، وتمكّن هذه المبرهنة من إيجاد دالة مقرّبة، للامساواة اشتقاقية ما. توجد المبرهنة في صيغتين : تكاملية، واشتقاقية.

تعتبر مبرهنة غرونويل آداة الحصول على عدة حلول مقرّبة لمعادلات اشتقاقية عادية. وبالخصوص، تستعمل المبرهنة للبرهنة على وحدة الحل لمشكلة كوشي، عبر مبرهنة كوشي-ليبشيتز.

الصيغة التكاملية[عدل]

لو كانت، لكل t_0\leq t\leq t_1، \phi(t)\geq 0 و\psi(t)\geq 0 دالتين مستمرتين حيث :

\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s

لكل  t_0\leq t\leq t_1، حيث K وL ثابتين موجبين فإن :

\phi(t)\leq K\exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)

لكل  t_0\leq t\leq t_1

الصيغة الاشتقاقية[عدل]

إذا كانت هذه العلاقة صحيحة :

\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s

فإن لدينا اللامساواة التالية :

\frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} (t) \leq L \psi(t) \phi (t).

و هو ما يتيح لنا أن نستنتج أن

\phi(t)\leq \phi(t_0) \exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)

لكل  t_0 \leq t \leq t_1.

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين. ساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.