مبرهنة منصف الزاوية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
AD منصف للزاوية A

في الهندسة الرياضية، مبرهنة منصف زاوية هي مبرهنة في المثلث تعطي العلاقة بين طول الضلع المقابل لأي زاوية إلى طول الضلعين الباقيين.

في المثلث ABC ، إذا كان AD منصف للزاوية A وكانت D نقطة تقاطع AD مع BC فإن:

\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AC}

تعميم المبرهنة[عدل]

في المثلث ABC، إذا كان AD يقطع BC في D ويقسم الزاوية A إلى \alpha و \beta فإن:

\frac{BD}{DC}=\frac{BA\sin\beta}{AC\sin\alpha}

إذا كانت \beta = \alpha سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البراهين[عدل]

البرهان الأول[عدل]

المثلث ABC

باستخدام قوانين مساحة المثلث:

1- مساحة المثلث ADC

 \frac{1}{2}AE.DC=\frac{1}{2}AD.AC\sin\alpha=

2- مساحة المثلث ADB

 \frac{1}{2}AE.BD=\frac{1}{2}AD.BA\sin\beta=

بقسمة 2 على 1 نصل إلى:

\frac{BD}{DC}=\frac{BA\sin\beta}{AC\sin\alpha}


و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن \beta = \alpha .

البرهان الثاني[عدل]

AD منصف للزاوية A

باستخدام قانون الجيوب:

في المثلث ADC:

\frac{AC}{\sin{ADC}}=\frac{DC}{\sin\alpha}


\sin{ADC}=\frac{AC\sin\alpha}{DC}

في المثلث ADB:

\frac{BA}{\sin{ADB}}=\frac{DB}{\sin\beta}


\sin{ADB}=\frac{BA\sin\beta}{DB}


\angle{ADC}=180 - \angle{ADB} \because و (Sin x = Sin (180-x.


 \sin{ADB}=\sin{ADC} \Leftarrow


\frac{BA\sin\beta}{DB}=\frac{AC\sin\alpha}{DC} \Leftarrow


\frac{BD}{DC}=\frac{BA\sin\beta}{AC\sin\alpha} \Leftarrow


و إذا كانت \beta = \alpha سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البرهان الثالث[عدل]

المثلث ABC

برهان هندسي، باستخدام تشابه المثلثات:

ِAD منصف الزاوية A، نسقط عمود من B على AD يقطعه في F، ونسقط عمود من C على امتداد AD يقطعه في E.

المثلث AEC يشابه المثلث AFB

( لأن E و F قائمتان و \beta = \alpha لأن AD منصف A)

\Rightarrow \frac{FB}{EC}=\frac{BA}{AC}

المثلث DEC يشابه المثلث DFB

( لأن E و F قائمتان و\angle{EDC}=\angle{FDB} للتقابل بالرأس)

\Rightarrow \frac{FB}{EC}=\frac{BD}{DC}


\Rightarrow \frac{BA}{AC}=\frac{BD}{DC}

وهو المطلوب إثباته .

وصلات خارجية[عدل]