مبرهنة منصف الزاوية

AD منصف للزاوية A

في الهندسة الرياضية، مبرهنة منصف زاوية هي مبرهنة في المثلث تعطي العلاقة بين طول الضلع المقابل لأي زاوية إلى طول الضلعين الباقيين.

في المثلث ABC ، إذا كان AD منصف للزاوية A وكانت D نقطة تقاطع AD مع BC فإن:

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AC}$

تعميم المبرهنة

في المثلث ABC، إذا كان AD يقطع BC في D ويقسم الزاوية A إلى $\alpha$ و $\beta$ فإن:

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA\sin\beta}{AC\sin\alpha}$

إذا كانت $\beta = \alpha$ سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البراهين

البرهان الأول

المثلث ABC

باستخدام قوانين مساحة المثلث:

1- مساحة المثلث ADC

$\frac{1}{2}AE.DC=\frac{1}{2}AD.AC\sin\alpha=$

2- مساحة المثلث ADB

$\frac{1}{2}AE.BD=\frac{1}{2}AD.BA\sin\beta=$

بقسمة 2 على 1 نصل إلى:

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA\sin\beta}{AC\sin\alpha}$

و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن $\beta = \alpha$.

البرهان الثاني

AD منصف للزاوية A

باستخدام قانون الجيوب:

في المثلث ADC:

$\frac{AC}{\sin{ADC}}=\frac{DC}{\sin\alpha}$

$\sin{ADC}=\frac{AC\sin\alpha}{DC}$

في المثلث ADB:

$\frac{BA}{\sin{ADB}}=\frac{DB}{\sin\beta}$

$\sin{ADB}=\frac{BA\sin\beta}{DB}$

$\angle{ADC}=180 - \angle{ADB} \because$ و (Sin x = Sin (180-x.

$\sin{ADB}=\sin{ADC} \Leftarrow$

$\frac{BA\sin\beta}{DB}=\frac{AC\sin\alpha}{DC} \Leftarrow$

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA\sin\beta}{AC\sin\alpha} \Leftarrow$

و إذا كانت $\beta = \alpha$ سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

البرهان الثالث

المثلث ABC

برهان هندسي، باستخدام تشابه المثلثات:

ِAD منصف الزاوية A، نسقط عمود من B على AD يقطعه في F، ونسقط عمود من C على امتداد AD يقطعه في E.

المثلث AEC يشابه المثلث AFB

( لأن E و F قائمتان و $\beta = \alpha$ لأن AD منصف A)

$\Rightarrow \frac{FB}{EC}=\frac{BA}{AC}$

المثلث DEC يشابه المثلث DFB

( لأن E و F قائمتان و$\angle{EDC}=\angle{FDB}$ للتقابل بالرأس)

$\Rightarrow \frac{FB}{EC}=\frac{BD}{DC}$

$\Rightarrow \frac{BA}{AC}=\frac{BD}{DC}$

وهو المطلوب إثباته .

وصلات خارجية

• نظرية منصف الزاوية
• منصف الزاوية