مبرهنة ويلسون

في الرياضيات، تنص مبرهنة ويلسون (بالإنجليزية: Wilson's theorem)‏ على أن عددا صحيحا طبيعيا ما n > 1 هو عدد أولي إذا وفقط إذا كان جداء كل الاعداد الصحيحة الموجبة الأصغر قطعا من n أصغر بواحدٍ من مضاعفٍ ما ل n. أي أنه إذا توفر مايلي:

$(n-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {n}}$

و بتعبير آخر، إذا وفقط إذا كان $(n-1)!\ +1$ مضاعفا ل n.

التاريخ

توصل ابن الهيثم لهاته المبرهنة في العصور الوسطى، لكنها نسبت إلى جون ويلسون تلميذ الرياضياتي الإنجليزي إدوارد ويرينغ الذي صاغها في القرن الثامن عشر. أعلن ويرينغ تلك المبرهنة في عام 1770، على الرغم من أنه لا هو ولا ويلسون أمكنهم إثبات ذلك. استطاع جوزيف لاغرانج في عام 1771، أن يقدم أول إثبات للمبرهنة. هناك أدلة على أن ليبنيز كان على علم أيضًا بتلك المبرهنة قبل ذلك بنحو قرن، لكنه لم ينشر ذلك.

مثال

يبين الجدول التالي في عموده الأول قيم n من 2 حتي 30، وقيم $(n-1)!$ في عموده الثاني. أما العمود الثالث فيحتوي على الباقي عند قسمة $(n-1)!$ على n. لُونت السطور حيث n عدد أولي باللون الوردي بينما لُونت السطور حيث n غير أولي باللون الأخضر.

جدول البواقي بترديد n

$n$	$(n-1)!$	$(n-1)!\ {\bmod {\ }}n$
2	1	1
3	2	2
4	6	2
5	24	4
6	120	0
7	720	6
8	5040	0
9	40320	0
10	362880	0
11	3628800	10
12	39916800	0
13	479001600	12
14	6227020800	0
15	87178291200	0
16	1307674368000	0
17	20922789888000	16
18	355687428096000	0
19	6402373705728000	18
20	121645100408832000	0
21	2432902008176640000	0
22	51090942171709440000	0
23	1124000727777607680000	22
24	25852016738884976640000	0
25	620448401733239439360000	0
26	15511210043330985984000000	0
27	403291461126605635584000000	0
28	10888869450418352160768000000	0
29	304888344611713860501504000000	28
30	8841761993739701954543616000000	0

براهين

البرهان الأول

حالة العدد غير الأولي

إذا كان n عدداً غير أولي (مركب) فهو يقبل القسمة على عدد أولي q، حيث n-2 ≥q≥ 2 . إذا كان !(n − 1) يطابق 1- (mod n) فإنه سيطابق 1-(mod q). ولكن (n − 1)! ≡ 0 (mod q) .

حالة العدد الأولي

النتيجة واضحة عندما p = 2 ، ولذلك سنفرض أن p عدد أولي فردي، p ≥ 3.
بما أنه يوجد لكل باقي (mod p) معاكس ضربي وحيد (mod p) غير صفري a⁻¹. من مبرهنة لاغرانج تقتضي أن القيم الوحيدة لa التي تحقق أن (a ≡ a⁻¹ (mod p هي (a ≡ ±1 (mod p. بالتالي، استثناء ±1 ، يمكن تقسيم عوامل !(p − 1) إلى أزواج، بحيث يكون ضرب كل زوجين ≡ 1 (mod p).
وبذلك تثبت المبرهنة.

برهان لاغرانج

استعمل لاغرانج الحدودية

$.P(x)=(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)$

حيث نشرها وحدد معاملاتها باستعمال الخاصية

$.(x+1)P(x+1)=(x+n)P(x)$

ثم أثبت إذن، أنه عندما يكون n أوليا، فإن جميع المعاملات - باستثناء الأول الذي يساوي 1 و الأخير الذي يساوي !(n-1) - مضاعفات ل n.

ثم، باستعمال نفس المتساوية دائما، لاحظ أن آخر معامل مضروبا فيn–1 يساوي مجموع كل المعاملات الأخرى واستنتج أن n – 1)! + 1) مضاعف ل n.

تطبيقات

هذه المبرهنة لا تستعمل من أجل تحديد أولية عدد ما لأنه سرعان ما يصير !(n-1) كبيرا جدا بمجرد ما يصير n كبيراً نسبياً.

بواقي تربيعية

باستعمال مبرهنة ويلسون، لكل عدد أولي فردي p = 2m + 1، نستطيع ترتيب الطرف الأيسر ل

$1\cdot 2\cdots (p-1)\ \equiv \ -1\ {\pmod {p}}$

للحصول على المتساوية

$1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\ \equiv \ 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}$

هذا يصبح

$\prod _{j=1}^{m}\ j^{2}\ \equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}$

أو

$(m!)^{2}\equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}.$

تعميمات

تعميم غاوس

أثبت غاوس أن

$\prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

حيث p عدد فردي و $\alpha$ عدد صحيح موجب.

المراجع

• Ore، Oystein (1988). Number Theory and its History. Dover. ص. 259–271. ISBN:0-486-65620-9. مؤرشف من الأصل في 2021-10-26.{{استشهاد بكتاب}}: صيانة الاستشهاد: التاريخ والسنة (link)

وصلات خارجية

• إيريك ويستاين، Wilson's Theorem، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).