تباين (جبر)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من متباينة)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
تحدد المنطقة الممكنة في البرمجة الخطية وفق مجموعة متباينات.

في الرياضيات، المتباينة أو المتراجحة علاقة رياضية تحتوي إحدى الرموز ( > ، < ، ≥ ، ≤ ) للتعبير عن اختلاف قيمة عنصرين رياضيين.

  • العلاقة a < b \!\ تعني أن a أصغر من b.
  • العلاقة a > b \!\ تعني أن a أكبر من b.
  • العلاقة a \neq b تعني أن a لا يساوي b لكنها لا تحدد العلاقة النسبية بينهما.

في جميع الأمثلة السابقة المتغيران a وb غير متساويين. وتعرف هذه العلاقات بعلاقات اللامساواة الصارمة، وذلك بالمقارنة مع العلاقات التالية:

  • a \le b تعني أن a هو أصغر أو يساوي لـ b.
  • a \ge b تعني أن a هو أكبر أو يساوي b.

كما تستخدم المتباينات في تعريف الفترة -وهي نوع خاص من المجموعات الجزئية من الأعداد الحقيقية- ، وهناك ثلاث أنواع من الفترات تعرف كما يلي :

  • فترة مغلقة

{a,b] = {x € R , a ≤ x ≤ b]

  • فترة مفتوحة

{a,b) = {x € R , a < x < b)

  • فترة نصف مغلقة نصف مفتوحة

{a,b) = {x € R , a ≤ x < b]

الخصائص[عدل]

التعدي[عدل]

حالات التعدي في المتراجحات:

  • من أجل أية ثلاث أعداد حقيقة a, b, c :
    • إذا كانت ab و bc فإن: ac
    • إذا كانت ab و bc فإن: ac
  • إذا كانت العلاقة بين عنصرين -من العناصر السابقة- لا مساواة صارمة, فإن العلاقة في النتيجة ستكون لا مساواة صارمة.
    • فمثلاً: إذا كانت ab و b > c فإن: a > c
  • إذا كانت العلاقة بين عنصرين - من العناصر السابقة- علاقة مساواة , فإن العلاقة في النتيجة ستكون تراجح.
    • فمثلاً: إذا كانت a = b و b > c فإنّ: a > c

الجمع والطرح[عدل]

لا تتغير جهة المتراجحة إذا تم جمع أو طرح من طرفيها نفس العدد,

فإذا كانت a, b, c ثلاث أعداد حقيقية فإنه: إذا كان a > b فإنً a+c > b+c

الضرب والقسمة[عدل]

لا تتغير جهة المتراجحة إذا ضربنا أو قسمنا طرفيها على نفس العدد الموجب المغاير للصفر.

تتغير جهة المتراجحة إذا ضربنا أو قسمنا طرفيها على نفس العدد السالب المغاير للصفر.

تطبيق دالة ما على طرفي المتراجحة[عدل]

مخطط الدالة y = ln x

على سبيل المثال، تطبيق دالة اللوغارتم الطبيعي على طرفي المتباينة يعطي ما يلي:

0 < a \leq b \Leftrightarrow \ln(a) \leq \ln(b).
0 < a < b \Leftrightarrow \ln(a) < \ln(b).

حل متباينة من الدرجة الأولى[عدل]

بنفس طريقة حل المعادلات من الدرجة الأولى في مجهول واحد مع الأخذ في الاعتبار خصائص علاقة التباين وهي لا تختلف عن خصائص علاقة التساوي إلا في حالة الضرب و القسمة في عدد سالب حيث إن إشارة التباين في هذه الحالة تنعكس من أصغر إلى أكبر أو من أكبر إلى أصغر

  • مثال :

12- > 4(2x+7)

12- > 28 - (x(-8

12- 28 > (x(-8

16 > (x(-8

(x >(-2

  • مثال :

(8-) > (y(-2

y > 4

متراجحات معروفة[عدل]

أنظر أيضا لائحة المتراجحات.

القيمة المطلقة في المتباينات[عدل]

إذا كان x عدد حقيقى، فإن القيمة المطلقة للعدد X ويرمز لها بالرمز

|x| تعرف كالآتى :

|x| =

x , x ≥ o

x , x < o-

و على سبيل المثال فإن :

9 = |9|

0 = |0|

2 = (2-)- = |2-|

من التعريف السابق نجد أن القيمة المطلقة لأى عدد حقيقى x هى مقياس هذا العدد بصرف النظر عن إشارته. أى أن |x| > صفر دائماً.

  • قاعدة  :

إذا كان x|=y ,y>0|

فإن x=y أو x=-y

  • قاعدة  :

إذا كان x عدد حقيقى أكبر من الصفر ( x > 0) فإن :

x|<y ⇔ -y<x<y|

حيث ⇔(إذا و إذا فقط) هي تعنى أنه إذا تحقق الشرط يتحقق الجواب وإذا تحقق الجواب يتحقق الشرط أيضاً (علاقة من طرفين).

  • قاعدة  :

إذا كان x عدد حقيقى أكبر من الصفر ( x > 0) فإن :

x>y ⇔ |x|>y أو x<-y

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  • ويكيبيديا الإنجليزية
  • كتاب الرياضيات في المملكة العربية السعودية للمرحلة المتوسطة -ثالث متوسط-
  • من الإنترنت : [DOC] المحاضرة الخامسة : المتباينات والقيمة المطلقة

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.