عدد فيبوناتشي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من متتالية فيبوناتشي)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
يتجلى العدد في الطبيعة بأشكال مختلفة.

متتالية فيبوناتشي أو أعداد فيبوناتشي نسبة إلى ليوناردو فيبوناتشي ، وتعرف رياضاتياً بأنها الأرقام التي تكون في المتتالية التالية:

0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\; \ldots.

بتعريفها فإن أول من أرقام فيبوناتشي هما 0 و 1، ويكون كل رقم هو نتاج مجموع الرقمين السابقين له. بعض المدارس حذفت الرقم 0 الأساسي واستبدلته بالرقم 1 مرتين.

تبليط المربعات بحيث يكون الجانبين هما ارقام فيبوناشي المتتالية في الطول
يوبانا (en)‏ (وتعني بالكيشوا أداة عد) وهي آلة حسابية استخدمها الإنكا. يعتقد الباحثون بأن تلك الحسابات اعتمدت على أرقام فيبوناشي لتقليل عدد الحبوب اللازمة لكل حقل[1].
لولب فيبوناتشي بطريقة رسم أقواس متصلة بالزوايا المتقابلة من المربعات في تبليط فيبوناتشي، ويستخدم لأحجام المربعات التالية 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، انظر الدوامة الذهبية (en)

تعرف المتتالية Fn لرقم فيبوناتشي بالوصف الرياضياتي بالعلاقة المتكررة (en)

F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\!\,

مع القيم الناتجة منها

F_0 = 0 \quad\text{and}\quad F_1 = 1.

سميت متتالية فيبوناتشي نسبة إلى ليوناردو البيسي والمعروف باسم فيبوناتشي (باللاتينية: Fibonacci) وتعني ابن بوناشيو filius Bonaccio. وكتابه الذي ألفه سنة 1202 واسمه ليبري أباتشي (en)‏ حيث عرف المتتالية في رياضيات الغرب الأوروبي، وقد كانت تلك المتتالية معروفة وموصوفة بالسابق في الرياضيات الهندية[2][3].

استخدمت أرقام فيبوناتشي في تحليل الأسواق المالية، في استراتيجيات مثل ارتداد فيبوناتشي وفي خوارزميات االكمبيوتر مثل تقنية فيبوناتشي للبحث (en)‏ وهيكلة بيانات تكدس فيبوناتشي (en)‏. وهي تظهر أيضا في الترتيبات البيولوجية[4]، مثل تفريعات الأشجار، ترتيب الأوراق على الساق وطرف الثمرة من الأناناس[5] وتفتح الخرشوف والسرخس غير المتجعد وترتيب مخروط الصنوبر[6].

الأصول[عدل]

عرف الهنود القدماء متتالية فيبوناتشي قبل ظهورها في أوروبا، حيث طبقوها في علم أوزان الشعر[7].

وجاء الدافع لذلك من العروض السنسكريتية، حيث المقاطع الطويلة لها فترة = 2 والمقاطع القصيرة لها فترة = 1. يمكن تشكيل أي نمط له فترة ن وذلك بإضافة مقطع قصير إلى نمط من فترة ن  − 1، أو مقطع طويل لنمط من فترة ن  − 2 ، وبالتالي فإن عروض الشعر تظهر أن عدد أنماط فترة ن هو مجموع الرقمين السابقين من التسلسل. وبعد ذلك بدأ المؤلفون باستخدام الخوارزميات لتصنيف أو عدم تصنيف تلك الأنماط (بمعنى إيجاد النمط المرقم بالكاف من الفترة ن)، مما أدى لاكتشاف أرقام فيبوناتشي عليا. وقد استعرض دونالد كانوث تلك النتيجة في كتابه فن برمجة الحاسوب[8][9].

وقد بدأ ليوناردو البيسي المعروف باسم فيبوناتشي بدراسة تلك المتتالية في أوروبا في كتابه ليبر أباتشي (en)‏ (1202)[10]. واعتبر النمو على افتراض (وهو غير صحيح في علم الأحياء) مجموعة ارانب كالتالي: حقل به زوج من الأرانب حديثي الولادة إحداهما ذكر والآخر انثى، فالأرانب بإمكانها التزاوج عند بلوغ الشهر، لذا ففي نهاية الشهر التالي تكون الأنثى قد ولدت زوج من الأرانب؛ بافتراض أنه لم يمت أي أرنب خلال مدة معينة وبافتراض أن في كل شهر ينتج زوج من الأرانب (ذكر وأنثى) بدأ من الشهر التالي. فكان اللغز الذي طرحه فيبوناتشي هو: كم سيكون عدد الأزواج في السنة الواحدة؟

  • في نهاية الشهر الأول سيحصل تزاوج، ولكن يبقى أن هناك زوجا واحدا فقط.
  • في نهاية الشهر التالي، الأنثى تلد زوجا جديدا، لذا سيكون هناك زوجين من الأرانب في الحقل.
  • في نهاية الشهر الثالث، الأنثى الأصل تلد زوجا جديدا، مما يصبح العدد هو 3 أزواج من الأرانب في الحقل.
  • في نهاية الشهر الرابع الأنثى الأصل تلد زوجا من الأرانب، والأنثى التي ولدت قبل شهرين تلد أول زوج لها من الأرانب. مما يصبح العدد هو 5 أزواج.

وفي نهاية المطاف عند الشهر ن، عدد الأزواج من الأرانب يساوي عدد الأزواج المواليد (حيث هو عدد الأزواج في الشهر ن-2) زائد عدد الأزواج الأحياء عند آخر شهر. هذا هو أو العدد ن لمتتالية فيبوناتشي[11].

لائحة متتالية فيبوناتشي[عدل]

أول 21 من أرقام فيبوناتشي (متسلسلة A000045 في OEIS)، ومرقمة بالعلامة Fن حيث ن = 0, 1, 2,... ,20 هي[12][13]:

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

قد يبدو ملاحظا أن المرة 21 (13+34) تساوي 987. أو تلكم المرة 34 (21+55) تساوي 2584. باستخدام العلاقة المكررة يمكن للتسلسل أن يمتد إلى مؤشر سلبي ن. نتيجة ترضي المعادلة

فتكون المعادلة لتلك النتائج

F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n. \!\,

وهذا التسلسل كاملا

\ldots,\;-8,\;5,\;-3,\;2,\;-1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;\ldots

الصيغة العامة[عدل]

الصيغة العامة لمتتالية فيبوناتشي هي :F(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^n-\varphi'^n) مع : \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\, و \varphi' = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\,

و هذه بعض القيم: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,...

ويقترب ناتج قسمة كل رقم بما قبله من 1.618 شيئا فشيئا للرقم الذهبي ويسمى هذا الرقم أيضا برقم التناسب المقدس والنسبة الذهبية.

متسلسلات القوى[عدل]

الدالة المولدة لمتتالية فيبوناتشي هي متسلسلة القوى التالية:

s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k.

هذه المتسلسلة تتقارب حين يتوفر |x| < \frac{1}{\varphi}, ولمجموعها شكل مخلق بسيط هو:

s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}

علاقتها بمسألة سيراكيز[عدل]

مجموعة فيبوناتشي هي متتالية فيبوناتشي ولكنها بخلاق مجموعة من الأرقام لها صلات بالاعداد للكواكب والمجرات والتصنيفات النباتيه والحيوانيه ويقال عند الهنود القدماء قبل ظهور تلك المتتاليه ان هناك مجموعة من الاعداد ذات ترتيب معين له صلة باحداث يوميه في الحاضر والمستقبل متوقع حدوثها.

أنظر أيضا[عدل]

مصادر[عدل]

  1. ^ http://www.quipus.it/english/Andean%20Calculators.pdf
  2. ^ Parmanand Singh. "Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers". Math. Ed. Siwan, 20(1):28–30, 1986. ISSN 0047-6269].
  3. ^ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India." Historia Mathematica 12(3), 229–44, 1985.
  4. ^ S. Douady and Y. Couder (1996). "Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process" (PDF). Journal of Theoretical Biology 178 (178): 255–274. doi:10.1006/jtbi.1996.0026. 
  5. ^ Jones، Judy؛ William Wilson (2006). "Science". An Incomplete Education. Ballantine Books. صفحة 544. ISBN 978-0-7394-7582-9. 
  6. ^ A. Brousseau (1969). "Fibonacci Statistics in Conifers". Fibonacci Quarterly (7): 525–532. 
  7. ^ Susantha Goonatilake (1998). Toward a Global Science. Indiana University Press. صفحة 126. ISBN 9780253333889. 
  8. ^ Donald Knuth (2006). The Art of Computer Programming: Generating All Trees—History of Combinatorial Generation; Volume 4. Addison-Wesley. صفحة 50. ISBN 9780321335708. 
  9. ^ Rachel W. Hall. Math for poets and drummers. Math Horizons 15 (2008) 10-11.
  10. ^ Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95419-8.  Chapter II.12, pp. 404–405.
  11. ^ Knott، Ron. "Fibonacci's Rabbits". جامعة سري كلية الهندسة والعلوم الفيزيائية. 
  12. ^ By modern convention, the sequence begins with F0=0. The Liber Abaci began the sequence with F1 = 1, omitting the initial 0, and the sequence is still written this way by some.
  13. ^ The website [1] has the first 300 Fn factored into primes and links to more extensive tables.