متسلسلة قوى

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، متسلسلة القوى (بالإنكليزية: Power series) (ذات المتغير الواحد) هي متسلسلة لامنتهية على الشكل

f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \left(x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

حيث تمثل an معاملات المتسلسلة و c المركز وx تكون عادة عددا حقيقيا أو عقديا.

تتشكل هذه المتسلسلات عادة من توابع معروفة بطريقة مشابهة لمتسلسلات تايلور.

في العديد من الحالات، يكون المركز c مساويا للصفر، مثلا كما في حالة متسلسلة ماكلاورين. في هذه الحالات تأخذ متسلسلات القوى شكلا أبسط :


f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

أمثلة[عدل]

الدالة الأسية (باللون الأزرق), ومجموع الحدود n+1 الأولى لمتسلسلة القوى لماكلورين (باللون الأحمر).

يمكن كتابة كل متعددة حدود على شكل متسلسلة لانهائية. مثلا : f(x) = x^2 + 2x + 3 يمكن كتابته بالشكل التالي : ...+f(x)=3 + 2x + x2+0x3+0x4

المتسلسلة الهندسية :  \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, حيث 1 >|x| .

  • معادلة الدالة الاسية :  e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,
  • معادلة الجيب :  \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

الاثنان الأخيران هما أيضا امثلة لمتسلسلات تايلور.

قطر ومجال التقارب[عدل]

إذا تقاربت متسلسلة ما للقوى في النقطة x=\alpha، فإن المتسلسلة تتقارب بالتأكيد لكل x يحقق |x|<|\alpha|. مجال التقارب هو القطعة المفتوحة (-\alpha,\alpha).

لكل متسلسلة قوى يوجد عدد ليس سالبا R ،(0 \le R < \infty ) حيث لكل x يحقق |R > |x المتسلسلة تتقارب وإذا |R < |x، المتسلسلة لا تتقارب. إذا كان R مساويا للصفر، المتسلسلة تتقارب فقط في النقطة x=0. إذا R=∞; حينها المتسلسلة تتقارب لكل x. يسمى R قطر التقارب للمتسلسلة.

حسب مبرهنة كوشي-هادامار قطر التقارب للسلسلة f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n هو :

R=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}

العمليات على متسلسلات القوى[عدل]

الجمع والطرح[عدل]

عندما يُعبر عن دالتين اثنتين f و g بمتسلسلتي قوى حول نفس المركز c، فإنه يُحصل على متسلسلة القوى لمجموعها أو فرقهما بجمع أو طرح، على التوالي، حدود هاتين المتسلسلتين، حدا بِحد. أي أنه :

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n

إذن

f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.

الضرب والقسمة[عدل]

التفاضل والتكامل[عدل]


f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}

\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

الدوال التحليلية[عدل]

يُقال عن دالة f معرفة على مجموعة مفتوحة U من R أو من C أنها تحليلية إذا ساوت محليا متسلسلة قوى متقاربة.

انظر إلى جوار (رياضيات) وإلى دالة تامة الشكل وإلى امتداد تحليلي.

يمكن تحديد متسلسلة القوى لدالة عكسية لدالة تحليلية باستعمال مبرهنة العكس للاغرانج.

متسلسلات القوى ذات العديد من المتغيرات[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]