متسلسلة متقاربة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، متسلسلة هي مجموع حدود متتالية من الأعداد.

لتكن \left \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\dots \right \} متتالية ما. الحد النوني للمجموع الجزئي S_n هو مجموع الحدود n الأولى للمتتالية، أي:

S_n = \sum_{k=1}^n a_k.

تكون متسلسلة ما متقاربة إذا كانت متتالية المجاميع الجزئية \left \{ S_1,\ S_2,\ S_3,\dots \right \} متقاربة. وبشكل رسمي، تكون متسلسلة متقاربة إذا وُجدت نهاية \ell حيث كيفما كان عدد موجب صغير ما \varepsilon > 0، فإنه يوجد عدد N حيث مهما كان n \ge \ N فإن :

\left | S_n - \ell \right \vert \le \ \varepsilon.

يقال عن متسلسلة غير متقاربة متسلسلة متباعدة.

أمثلة على متسلسلات متباعدة ومتسلسلات متقاربة[عدل]

اختبارات التقارب[عدل]

إذا بُرهن على أن المتسلسلة الزرقاء \Sigma b_n متقاربة، فإن المتسلسلة الأصغر منها \Sigma a_n متقاربة أيضا. وبشكل مماثل، إذا بُرهن على أن المتسلسلة الحمراء \Sigma a_n متباعدة, فإن \Sigma b_n أيضا متباعدة.

هناك عدة طرق تمكن من معرفة هل متسلسلة ما تتقارب أو تتباعد.

اختبار المقارنة : حدود المتتالية \left \{ a_n \right \} تُقارن مع حدود متتالية أخرى \left \{ b_n \right \}. إذا توفر ما يلي مهما كانت قيمة n :

0 \le \ a_n \le \ b_n, و \sum_{n=1}^\infty b_n متسلسلة متقاربة، فإن \sum_{n=1}^\infty a_n. متقاربة أيضا.

وبشكل مماثل، إذا توفر ما يلي مهما كانت قيمة n:

0 \le \ a_n \le \ b_n, و \sum_{n=1}^\infty a_n متباعدة, فإن \sum_{n=1}^\infty b_n أيضا متباعدة.

اختبار النسبة : يُفترض أنه مهما كانت قيمة n فإن a_n > 0 وأنه يوجد عدد r حيث

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r.

إذا كان r < 1, فإن المتسلسلة متقاربة. وإذا كان r > 1, فإن المتسلسلة متباعدة. أما إذا كان r = 1, فإن اختبار النسبة يصير غير مجد وغير نافع وأن المتسلسلة قد تكون متقاربة وقد تكون متباعدة.

اختبار الجذر أو الجذر النوني

اختبار التكامل

اختبار مقارنة النهايات

اختبار المتسلسلات المتناونة الإشارة

معيار التقارب لكوشي[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Wiki letter w.svg هذه بذرة تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.