متسلسلة متناسقة

في الرياضيات، المتسلسلة المتناسقة هي المتسلسلة غير المنتهية المتباعدة التالية:

$\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n} \;\;=\;\; 1 \,+\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \cdots.\!$

التاريخ

أثبت نيكول اورسمي في القرن الرابع عشر التباعد في المتسلسلة, ولكن تم تجاهل هذا الاثبات. ثم توالت الاثباتات في القرن السابع عشر بواسطة بيترو منجولي, يوهان بيرنولي ويعقوب بيرنولي.

لقد حصلت المستسلسة تاريخيا علي اهتمام وشعبية في وسط المعماريين, وعلي وجهه التحديد في عصر الباروك حيث استخدم المعماريين المتسلسة في نسب تقسيم الارضيات من المرتفعات وإلى إقامة علاقات توافقية بين كل من التفاصيل الداخلية والخارجية المعمارية لكل من الكنائس والقصور.

الابتعاد

هناك العديد من البراهين على تباعد المتسلسلة المتناسقة. فيما يلي برهانان اثنان.

طريقة المقارنة

$\begin{align} & 1 \;\;+\;\; \frac{1}{2} \;\;+\;\; \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{4} \;\;+\;\; \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{6} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{8} \;\;+\;\; \frac{1}{9} \,+\, \cdots \\[12pt] >\;\;\; & 1 \;\;+\;\; \frac{1}{2} \;\;+\;\; \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{4} \;\;+\;\; \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{8} \;\;+\;\; \frac{1}{16} \,+\, \cdots. \end{align}$

$\begin{align} & 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16}\right) + \cdots \\[12pt] =\;\; & 1 \;\;+\;\; \frac{1}{2} \;\;+\;\; \frac{1}{2} \;\;+\;\; \frac{1}{2} \;\;+\;\; \frac{1}{2} \;\;+\;\; \cdots \;\;=\;\; \infty. \end{align}$

$\sum_{n=1}^{2^k} \,\frac{1}{n} \;\geq\; 1 + \frac{k}{2}$

طريقة التكامل

انظر أيضا

• لوغارتم عقدي,