متعددات الحدود لشيبيشيف

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، متعددات الحدود لشيبيشيف (بالإنكليزية: Chebyshev polynomials) هي متعددات حدود يعود اسمها إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف,[1] هي متتالية من متعددات حدود متعامدة لها صلة بصيغة دي موافر وتعرف ببساطة بواسطة ذاتية الاستدعاء.

عادة هناك فرق بين متعددات حدود شيبيشيف من النوع الأول والتي يرمز لها ب Tn وبين متعددات حدود شيبيشيف من النوع الثاني ويرمز لها Un.

متعددات الحدود لشيبيشيف Tn أو Un هي متعددات حدود من الدرجة n وتعاقب كثيرات حدود شيبيشيف لأي من النوعين تكون تعاقب كثيرات حدود.

متعددات حدود شيبيشيف مهمة في نظرية التقريب لأن جذور كثيرات حدود شيبيشيف ذات النوع الأول، والتي يطلق عليها أيضاً عقد شيبيشيف، تستخدم عقدا في استيفاء كثيرات الحدود.

في مجال المعادلات التفاضلية، تأتي متعددات الحدود لشيبيشيف حلحلة لمعادلة شيبيشيف.

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 \,\!

و

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0 \,\!

(الصنف الأول حلحلة للمعادلة الأولى والثاني حلحلة للمعادلة الثانية). هاتان المعادلتان حالتان خاصتان من معادلة ستورم-ليوفيل التفاضلية.

تعريف[عدل]

تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول بالعلاقة التكرارية


\begin{align}
T_0(x) & = 1 \\
T_1(x) & = x \\
T_{n+1}(x) & = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x).
\end{align}

وتكون الدالة المولدة التقليدية لـ Tn

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}. \,\!

ودالة التوليد الأسية هي

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) \frac{t^n}{n!} = {1 \over 2}\left(e^{(x-\sqrt{x^2 -1})t}+e^{(x+\sqrt{x^2 -1})t}\right). \,\!

تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الثاني بطريقة مشابهة


\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2x \\
U_{n+1}(x) & = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x).
\end{align}

من أمثلة الدوال المولدة لـ Un

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}. \,\!

تعريف بالنسب المثلثية[عدل]

النوع الأول:

T_n(x)=\cos(n \arccos x)=\cosh(n\,\mathrm{arccosh}\,x) \,\!

حيث:

T_n(\cos(\vartheta))=\cos(n\vartheta) \,\!

لقيم n = 0, 1, 2, 3,..., أما النوع الثاني:

 U_n(\cos(\vartheta)) = \frac{\sin((n+1)\vartheta)}{\sin\vartheta} \,\!

لهذه المتطابقة فائدة قصوى مع وجود صيغة التوليد التكرارية لأنها تسمح بحساب جيب التمام لأي تكامل من مضاعفات زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية الأساسية.بتقييم كثيرتي حدود شيبيشف الأوليتين:

T_0(x)=\cos\ 0x\ =1 \,\!

و:

T_1(\cos(x))=\cos(x) \,\!

يمكن بيان أن:


\cos(2 \vartheta)=2\cos\vartheta \cos\vartheta - \cos(0 \vartheta) = 2\cos^{2}\,\vartheta - 1 \,\!

\cos(3 \vartheta)=2\cos\vartheta \cos(2\vartheta) - \cos\vartheta = 4\cos^3\,\vartheta - 3\cos\vartheta \,\!

وهكذا.

تعريف معادلة بل[عدل]

يمكن تعريف كثيرات حدود شيبيشف أيضاً بأنها حلول معادلة بل

T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1 \,\!

في حلقة R[x].[2] بالتالي، يمكن توليدها بالطريقة القياسية لمعادلات بل بأخذ قوى حل أساسي:

T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \,\!

العلاقة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني[عدل]

العلاقة متشابهة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني بالمعالات التالية

\tfrac{d}{dx} \, T_n(x) = n U_{n-1}(x) \mbox{ , } n=1,\ldots
T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - \, U_{n-2}(x)).
T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,
T_n(x) = U_n(x) - x \, U_{n-1}(x).

العلاقة التكرارية لمشتقات كثيرات حدود شيبيشيف يمكن اشتقاقها من هذه العلاقات

2 T_n(x) = \frac{1}{n+1}\; \frac{d}{dx} T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\; \frac{d}{dx} T_{n-1}(x) \mbox{ , }\quad n=1,\ldots

تستعمل هذه العلاقة في طريقة طيفية شيبيشيف لحل المعادلات التفاضلية.

بالمثل، يمكن تعريف التعاقبين من أزواج معادلات تكرار متبادل:

T_0(x) = 1\,\!
U_{-1}(x) = 0\,\!
T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)\,
U_n(x) = xU_{n-1}(x) + T_n(x)\,

صيغ صريحة[عدل]

T_n(x) =
\begin{cases}
\cos(n\arccos(x)), & \ x \in [-1,1] \\
\cosh(n \, \mathrm{arccosh}(x)), & \ x \ge 1 \\ (-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arccosh}(-x)), & \ x \le -1 \\
\end{cases} \,\!



\begin{align}
T_n(x) & = \frac{(x-\sqrt{x^2-1})^n+(x+\sqrt{x^2-1})^n}{2} \\
& = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (x^2-1)^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} (1 - x^{-2})^k \\
& = \frac{n}{2}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}~(2x)^{n-2k} \quad (n>0) \\
& = n \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k-1)!} {(n-k)!(2k)!}(1 - x)^k \quad (n>0)\\
& = \, _2F_1\left(-n,n;\frac 1 2; \frac{1-x} 2 \right) \\
\end{align}

\begin{align}
U_n(x) & = \frac{(x+\sqrt{x^2-1})^{n+1} - (x-\sqrt{x^2-1})^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} \\
& = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (x^2-1)^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n+1}{2k+1} (1 - x^{-2})^k \\
& =\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{2k-(n+1)}{k}~(2x)^{n-2k} \quad (n>0)\\
& =\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k \binom{n-k}{k}~(2x)^{n-2k} \quad (n>0)\\
& = \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k+1)!} {(n-k)!(2k+1)!}(1 - x)^k \quad (n>0)\\
& = (n+1) \, _2F_1\left(-n,n+2; \frac 3 2; \frac{1-x} 2 \right)
\end{align}

حيث _2F_1 هي دالة مثلثية زائدية.

الخواص[عدل]

التحويل[عدل]

من المتطابقات المفيدة في تحويل كثيرات الحدود

T_n\left(1-2x^2\right)=(-1)^n T_{2n}(x)

و

U_n\left(1-2x^2\right) x= (-1)^n U_{2n+1}(x).

الجذور والقيم القصوى[عدل]

لأي من النوعين في كثيرات حدود شيبيشف من الدرجة n يوجد لها n جذور بسيطة مختلفة تدعى جذور شيبيشف في الفترة [−1,1]. باستعمال التعريف المثلثي والحقيقة القائلة بأن

\cos\left(\frac{\pi}{2}\,(2k+1)\right)=0

يمن إثبات أن جذور Tn هي

 x_k = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2k-1}{n}\right),\quad k=1,\ldots,n.

بالمثل جذور Un هي

 x_k = \cos\left(\frac{k}{n+1}\pi\right),\quad k=1,\ldots,n.

التفاضل والتكامل[عدل]

باشتقاق كثيرات الحدود في صورها المثلثية، يمكن بسهولة الوصل لايلي:

\frac{d T_n}{d x} = n U_{n - 1}\,
\frac{d U_n}{d x} = \frac{(n + 1)T_{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1}\,
\frac{d^2 T_n}{d x^2} = n \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1} = n \frac{(n + 1)T_n - U_n}{x^2 - 1}.\,

التعامدية[عدل]

إن كلا من Tn وUn تكونان تعاقب كثيرات حدود متعامدة. كثيرات الحدود من النوع الأول تكون متعامدة بالنسبة للوزن

\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \,\!

في الفترة (−1,1), أي أن:

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\begin{cases}
0 &: n\ne m \\
\pi &: n=m=0\\
\pi/2 &: n=m\ne 0
\end{cases}

بالمثل، كثيرات الحدود من النوع الثاني تكون متعامدة بالنسبة للوزن

\sqrt{1-x^2} \,\!

على الفترة [−1,1], أي أن:

\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx =
\begin{cases}
0 &: n\ne m, \\
\pi/2 &: n=m.
\end{cases}

الأصغرية ∞-طبيعي[عدل]

لأي قيمة n ≥ 1, بين كثيرات الحدود من الدرجة nمع معامل أسبقية 1,

f(x) = \frac1{2^{n-1}}T_n(x)

هي تلك التي لها قيمة مطلقة أعظمية في الفترة [−1, 1] تكون أصغرية.

هذه القيمة الأعظمية تكون

\frac1{2^{n-1}}

و|ƒ(x)| تصل لهذه القيمة العظمى تماماً n + 1 من المرات: عند

x = \cos \frac{k\pi}{n}\text{ for }0 \le k \le n.

صلتها بكثيرات حدود أخرى[عدل]

  • T_n(x)= \frac 1{{n-\frac 1 2 \choose n}} P_n^{-\frac 1 2, -\frac 1 2}(x)= \frac n 2 C_n^0(x),
  • U_n(x)= \frac 1{2{n+\frac 1 2 \choose n}} P_n^{\frac 1 2,  \frac 1 2}(x)= C_n^1(x).

أمثلة[عدل]

بعض من كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول في المجال −1 < x < 1: الأسطح T0, T1, T2, T3, T4 وT5.

بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول هي

 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,
بعض من كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الثاني في المجال −1 < x < 1: الأسطح U0, U1, U2, U3, U4 وU5.

بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الثاني هي

 U_0(x) = 1 \,
 U_1(x) = 2x \,
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
 U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,
 U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,
 U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,
 U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x. \,

كمجموعة أساسات[عدل]

في فضاء سوبوليف, تؤلف مجموعة كثيرات حدود شيبيشف مجموعة أساسمكتملة بحيث أن دالة في نفس الفضاء يمكن التعبير عنها على −1 ≤ x ≤ 1 بالنشر:[3]

f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x).

مثال 1[عدل]

ليكن لدينا منشور شيبيشيف  \log(1+x) . يمكن التعبير عنه

 \log(1+x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x).

كما يمكن إيجاد المعاملات  a_n إما بتطبيق الضرب الداخلي أو من شرط التعامدية المتقطعة. بطريقة الضرب الداخلي


\int_{-1}^{+1}\frac{T_m(x)\log(1+x)}{\sqrt{1-x^2}}dx = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_{-1}^{+1}\frac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx,

نحصل على


a_n=
\begin{cases}
-\log(2) &:n = 0 \\
\frac{-2(-1)^n}{n} &: n > 0.
\end{cases}

بالمثل وعند عدم جدوى طريقة الضرب الداخلي نلجأ لطريقة شرط التعامدية المتقطعة فنحصل على


a_n=\frac{2-\delta_{0n}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}T_n(x_k)\log(1+x_k),

حيث  \delta_{ij} هي دالة دلتا كرونكر و x_k هي N أصفار  T_N(x) من غاوس–لوباتو

 x_k=\cos\left(\frac{\pi\left(k+\frac{1}{2}\right)}{N}\right).

وبحساب المعاملات  a_n بواسطة تحويل جيب التمام المتقطع


a_n=\frac{2-\delta_{0n}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\cos\left(\frac{n\pi\left(k+\frac{1}{2}\right)}{N}\right)\log(1+x_k).

مثال 2[عدل]

\begin{align}(1-x^2)^\alpha=& -\frac 1 {\sqrt \pi}\frac{\Gamma(\frac 1 2+\alpha)}{\Gamma(\alpha+1)}+ 2^{1-2\alpha} \sum_{n=0} (-1)^n {2\alpha \choose \alpha-n} T_{2n}(x)\\=& 2^{-2\alpha}\sum_{n=0} (-1)^n {2\alpha+1 \choose \alpha-n} U_{2n}(x).\end{align}

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Chebyshev polynomials were first presented in: P. L. Chebyshev (1854) "Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes," Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg, vol. 7, pages 539-586.
  2. ^ Jeroen Demeyer Diophantine Sets over Polynomial Rings and Hilbert's Tenth Problem for Function Fields, Ph.D. theses (2007), p.70.
  3. ^ Boyd، John P. (2001). Chebyshev and Fourier Spectral Methods (الطبعة second). Dover. ISBN 0486411834. 

وصلات خارجية[عدل]