متعدد حدود لاغرانج

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

كثير حدود لاغرانج أو متعدد حدود لاغرانج (بالإنجليزية: Lagrange polynomial): في التحليل العددي، هو استيفاء كثير الحدود لمجموعة محددة من النقاط بطريقة لاغرانج. اكتشف أولا بواسطة إدوارد ويرينغ في عام 1779 ثم أعيد اكتشافه من قبل ليونهارد أويلر في عام 1783.

بما أنه لايوجد إلا استيفاء واحد لكثير الحدود لمجموعة من النقاط، فمن الخطأ تسمية كثير الحدود باستيفاء لاغرانج لكثير الحدود (Lagrange interpolation polynomial). يجب أن يكون الاسم الأدق هو استيفاء كثير الحدود بطريقة لاغرانج (interpolation polynomial in the Lagrange form).

هذه الصورة تظهر استيفاء كثير الحدود التكعيبي L(x) لأربع نقاط ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9))، وهو مجموع كثيرات الحدود الأساسية y00(x), y11(x), y22(x) وy33(x). استيفاء كثير الحدود يمر خلال جميع نقاط التحكم الأربعة، وكل كثير حدود أساسي يمر خلال نقطة التحكم الخاصة به ويكون صفرًا عندما x متعلقة بنقاط التحكم الثلاثة الأخرى

تعريف[عدل]

ليكن لدينا مجموعة k + 1 من النقاط.

(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)

حيث لا تتساوى أي xj لأي نقطتين، فيكون استيفاء كثير الحدود بطريقة لاغرانج هو التركيبة الخطية

L(x)  = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x)

لكثيرات حدود لاغرانج الأساسية

\ell_j(x)  = \prod_{i=0,\, i\neq j}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)} \cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j-1})} \frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})} \cdots \frac{(x-x_{k})}{(x_j-x_{k})}.
Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين، فساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.