مثلث متساوي الأضلاع

مثلث متساوي الأضلاع.

في الهندسة الرياضية، المثلث المتساوي الأضلاع هو مثلث جميع أضلاعه متساوية الطول. وفي الهندسة الإقليدية تكون جميع زوايا المثلث المتساوي الأضلاع متساوية القياس و قياس كل منهما يساوي ستين درجة.

المثلث المتساوي الأضلاع هو مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع وبالتالي من الممكن تسميته مثلث منتظم.

خصائص

• كل المثلثات المتساوية الأضلاع متشابهة.
• الارتفاع في المثلث المتساوي الأضلاع ينصف القاعدة.
• المتوسط في المثلث المتساوي الأضلاع عمودي على الضلع الذي ينصفه.
• يحقق المثلث المتساوي الأضلاع مبرهنة فيفياني.
• AD قطعة مستقيمة في المثلث المتساوي الأضلاع AD :ABC ارتفاع $\Leftrightarrow$ AD متوسط $\Leftrightarrow$ AD منصف للزاوية A.
• P نقطة في المثلث المتساوي الأضلاع P :ABC مركز قائم $\Leftrightarrow$ P نقطة وسطى $\Leftrightarrow$ P مركز الدائرة الداخلية المماسة للمثلث ABC.

طول الارتفاع

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع, فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

البرهان:

إذا كان ABC مثلثا متساوي الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:

H منتصف BC ( من خواص المثلث المتساوي الأضلاع السابق ذكرها ).

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC

$a^2=AH^2 + (\frac{a}{2})^2$

$\Rightarrow AH^2 =\frac{3{a}^2}{4}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

و هو المطلوب.

المساحة

ذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع, فإن مساحته تعطى بالقانون:

$Area =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

البرهان:

مساحة المثلث = ½ الارتفاع × القاعدة

مساحة المثلث = ½ $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ × $a \,$

$\Leftarrow$ مساحة المثلث المتساوي الأضلاع = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

و هو المطلوب.

انظر أيضاً

• مثلث
• مبرهنة فيفياني
• مبرهنة فيثاغورس
• مثلثات قائمة خاصة
• قوانين مساحة المثلث

وصلات خارجية

إيريك ويستاين، إنشاء المثلث المتساوي الأضلاع، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).