مثلث

مثلث
مثلث
أضلاع ورؤوس	3
رمز شليفلي	{3} (للمثلث متساوي الأضلاع)
المساحة	طرق عدة للحساب (راجع قسم المساحة)
زاوية داخلية (درجة)	60° (للمثلث متساوي الأضلاع)

المثلث هو أحد الأشكال الأساسية في الهندسة، وهو شكل ثنائي الأبعاد مكون من ثلاثة رؤوس تصل بينها ثلاثة أضلاع، وتلك الأضلاع هي قطع مستقيمة.

أنواع المثلثات

رسم أويلر مبينا أنواع المثلثات, مستعملا المثلثات المتساوية الساقين : لها على الأقل ضلعان متساويان, i.e. equilateral triangles are isosceles.

حسب أطوال الأضلع

من الممكن تصنيف المثلثات تبعا لأطوال أضلاعها كما يلي:

• مثلث متساوي الأضلاع: هو مثلث جميع أضلاعه متساوية، وتكون جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية أيضا، وقيمة كل منها 60 درجة.
• مثلث متساوي الضلعين: ويسمى أيضا متساوي الساقين، هو مثلث فيه ضلعان متساويان. الزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين تكونان متساويتين أيضا.
• مثلث مختلف الأضلاع: هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة، زوايا هذا المثلث تكون مختلفة القيم أيضا.

متساوي الاضلاع	متساوي الساقين	مختلف الاضلاع

حسب زواياه الداخلية

يمكن أيضا تصنيف المثلثات تبعا لقياس الزوايا الداخلية في المثلث:

• مثلث قائم: له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة)، يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر، وهو أطول أضلاع هذا المثلث.
• مثلث منفرج الزاوية: له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة وأصغر من 180 درجة(زاوية منفرجة)
• مثلث حاد الزوايا: كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة (زاوية حادة).

قائم	منفرج	حاد

الضلع الأفقي يسمى "قاعدة المثلث".

حقائق عن المثلثات

تشابه مثلثين

يقال عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي لضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فان النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. وهناك عدة حالات للتشابه منها زاوتين ويرمز للتشابه بالرمز (~)

حالات التشابه

1. يتشابه مثلثان إذا تساوت زاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني (زاويا,ضلع زاويا).
2. يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة فيهما(ضلع,ضلع,ضلع).
3. يتشابه مثلثان إذا تساوى قياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر و تناسبت أطوال الأضلاع التي تحتويهما هاتين الزاويتين فإن المثلثين يتشابهان(ضلع ,زاويا,ضلع).

نظرية

-النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما .

-النسبة بين محيطي مثلثين متشابهين تساوي النسبه بين طولي اي ضلعين متناظرين فيهما .

مبرهنة فيثاغورس

واحدة من النظريات الأساسية في المثلثات هي مبرهنة فيثاغورس والتي تنص على أنه في المثلث القائم، مربع طول الوتر (c) يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (a, b)، أي:

$c^2 = a^2 + b^2 \,$

مما يعني أن معرفة طولي ضلعين من المثلث القائم، كافٍ لمعرفة طول الضلع الثالث:

من الممكن تعميم مبرهنة فيثاغورث لتشمل أي مثلث عبر قانون جيب التمام:

مربع طول الضلع = مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروح منه ضعف حاصل ضروب طولي الضلعين الآخرين في جيب تمام "الزاوية المحصورة بينهما"

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\ Cos\theta\,$

و هو صحيح لكل المثلثات حتى لو لم تكن الزاوية ( $\theta \,$) قائمة.

حساب مساحة المثلث

انظر قوانين مساحة المثلث.

باستعمال علم المثلثات

أبسط طريقة لحساب مساحة المثلث وأكثرها شهرة هي :

المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع

$Area=\frac{1}{2}bh$

حيث $b$ هي طول قاعدة المثلث و $h$ هو ارتفاع المثلث. قاعدة المثلث تمثل أي ضلع من أضلاع المثلث والارتفاع هو طول العمود النازل على هذه القاعدة من الرأس المقابل لها.

من الممكن البرهان على ذلك من خلال الشكل التالي:

يحول المثلث أولاً لمتوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث، ثم إلى مستطيل.

باستعمال صيغة هيرون

انظر صيغة هيرو.

باستعمال المتجهات

قد تحسب مساحة متوازي أضلاع في فضاء اقليدي ثلاثي الأبعاد باستعمال المتجهات. ليكن AB (قد يرمز إلى المتجهة AB ب $\scriptstyle \overrightarrow{AB}$) و AC المتجهتين المنطلقتين من A والواصلتين إلى B و C على التوالي. مساحة متوازي الأضلاع ABCD هي

$|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}|$

والذي يعنى وُسع الضرب الاتجاهي للمتجهتين AB و AC. مساحة المثلث تساوي نصف هذا الوسع أي :

$\frac{1}{2}|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}|$

نقاط ومستقيمات ودوائر متصلة بالمثلث

• المتوسط العمودي لمثلث هو مستقيم يمر من أحد أضلاع المثلث في منتصفه ويكون عمودياً عليه وتتلاقى المتوسطات العمودية لمثلث في نقطة تسمى مركز الدائرة المحيطة بمثلث ويكون لهذه النقطة نفس البعد عن رؤوس المثلث الثلاثة ويكون تقاطع متوسطين عموديين فقط كافياً لمعرفة مركز هذه الدائرة.

الدائرة المحيطة لمثلث تمر من رؤوس المثلث

• تقول نظرية طالس أنه إذا كان مركز الدائرة المحيطة بالمثلث على ضلع من أضلاع المثلث فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة.

نقطة تقاطع الارتفاعات في مثلث تسمى المركز القائم

• الارتفاع هو مستقيم يمر براّس من رؤوس المثلث ويكون عمودياً غلى الضلع المقابل للرأس. ويمثل الارتفاع البعد بين الرأس والضلغ المقابل له كما تتقاطع الارتفاعات في نقطة تسمى مركز قائم.

تقاطع منصفات الزوايا في مركز الدائرة المحاطة بالمثلث

• منصف الزاوية هو مستقيم يمر من أحد رؤس المثلث ويقسم الزاوية إلى نصفين وتتقاطع المنصفات الثلاثة في مركز الدائرة المحيطة بالمثلث وهي الدائرة التي تمس أضلاع المثلث الثلاثة.

• المتوسط هو قطعة مستقيم تنطلق من أحد رؤس المثلث وتمر من منتصف الضلع المقابل لهذا الرأس وتتقاطع المتوسطات الثلاثة في نقطة تسمى مركز ثقل المثلث ويكون تقاطع متوسطين فقط كافياً لمعرفة مركز الثقل. كما يكون البعد بين رأس المثلث ومركز الثقل مساوياً لـ$\frac{2}{3}$ من طول المتوسط الصادر من ذلك الرأس.

المتوسطات ومركز الثقل.

• منتصفات الأضلاع ونقطة تقاطع الارتفاع والضلع المقابل له موجودة كلها على دائرة النقاط التسعة للمثلث والنقاط الثلاثة المتبقية هي منتصف البعد بين رأس المثلث والمركز القائم ونصف قطر دائرة النقاط التسعة يساوي ½ نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

دائرة النقاط التسعة

المثلثات غير المستوية

انظر الهندسة الكروية و الهندسة الزائدية.

المثلثات في الهندسة المعمارية

بنيان فلاتيرون في نيويورك بُني على شكل موشور مثلثي

يعتقد أن المثلثات ستستعمل في المستقبل أكثر مما هي عليه الآن في المعمار، حيث تزداد الهندسة المعمارية تعقدا.

انظر أيضا

• تطابق (هندسة)
• مبرهنة ديسارغو
• رمز عين التنين
• نقطة فيرما
• مثلث هيروني
• مثلث أضلاعه أعداد صحيحة
• قانون جيب التمام

• قانون الجيب
• قانون الظل
• مبرهنة ليستر
• لائحة المواضيع المتعلقة بالمثلث
• متراجحة أونو
• مثلث دواسة
• متراجحة بيدو

• مبرهنة فيثاغورس
• مثلثات قائمة خاصة
• عدد مثلثي
• متوسط المثلث
• منصف الزاوية
• ارتفاع المثلث
• قوانين مساحة المثلث
• علم مثلثات
• دائرة محيطة

وصلات خارجية

• Triangle Calculator - solves for remaining sides and angles when given three sides or angles, supports degrees and radians.
• Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 3200 interesting points associated with any triangle.
• Christian Obrecht: Eukleides. Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.
• Proof that the sum of the angles in a triangle is 180 degrees
• Area of a triangle - 7 different ways
• Triangle definition pages with interactive applets that are also useful in a classroom setting.
• Animated demonstrations of triangle constructions using compass and straightedge.
• Triangles: Theorems and Problems. Interactive illustrations at Geometry from the Land of the Incas.
• Many things about triangles
• Triangle in light aircraft
• All Math Words Encyclopedia for grades 7-10.