مجسم دوراني

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

المجسم الدوراني في الرياضيات هو كل جسم ينشأ عن دوران منطقة مستوية حول محور دوران مستقيم ثابت دورة كاملة , ويسمى المستقيم بمحور المجسم .

حساب الحجم[عدل]

رموز :

r = نصف القطر
h = الارتفاع
A = المساحة أو مساحة القاعدة
V = الحجم

يتم حساب الحجم بعدة طرق ,منها :

التكامل بالأقراص[عدل]

تكامل بالأقراص لمجسم دوراني محور المحور الصادي
للدالة f(y) = \sqrt(y)
تقوم الطريقة على تقسيم الجسم إلى أقراص غير متناهية.

محور الدوران هو المحور السيني[عدل]

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور السينات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :
V = \pi \int_a^b {\left[R(x)\right]}^2\ \mathrm{d}x
حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

محور الدوران هو المحور الصادي[عدل]

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور الصادات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :
V = \pi \int_a^b {\left[R(y)\right]}^2\ \mathrm{d}y
حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

التكامل الطبقات الاسطوانية[عدل]

بعض أنواع المجسمات الدورانية[عدل]

الأجسام الدورانية متنوعة بتنوع منحنيات الدوال , ولكن هناك أجسام مشهورة منها :
اسم الجسم ينشأ عن دوران معادلة المنطقة المستوية تمثيل الشكل معادلة حساب الحجم
اسطوانة مستطيل f(x) = r \, Solid of revolution-Cylinder.svg V = \pi \int_0^h f(x)^2 dx
مخروط مثلث قائم الزاوية f(x) = \frac{r}{h} x \, Solid of revolution-Cone.svg V = \pi \int_0^h f(x)^2 dx
كرة نصف دائرة f(x) = \sqrt{r^2-(x-r)^2} \, Solid of revolution-Ball.svg V = \pi \int_0^{2r} f(x)^2 dx
مخروط ناقص شبه منحرف f(x) = \frac{r}{h}\times (x+H) \,
حيث H ارتفاع الجزء الناقص
Solid of revolution-Cone2.svg V = \pi \int_0^h f(x)^2 dx


الشكل التالي ناتج عن دوير المنطقة المستوية المحصورة بين f و g

وبعض الأجسام قد تنتج من خلال المنطقة المحصورة بين داليتين ليست صفرية(انظر الشكل المقابل)

انظر أيضا[عدل]

المصادر[عدل]

  • كتاب الرياضيات الصف الثالث ثانوي الصف الدراسي الثاني , ط 1431-1432 , المملكة العربية السعودية
  • المقال الإنجليزي
Dodecahedron.svg هذه بذرة مقالة عن الهندسة الرياضية بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.