مجموعة عدودة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يستخدم مصطلح معدود أو قابل للعد ، بشكل مغاير للمفهوم السائد ، فهو يعبر عن قدرتنا عن نسب كل عنصر من المجموعة لأحد أعداد مجموعة الأعداد الطبيعية أي قدرتنا أن ننسب لكل عنصر عدد طبيعي يمثل ترتيبه .

تعتبر المجموعة معدودة countable إذا كان عدد العناصر فيها منتهيا أو اذا كانت تحوي نفس عدد العناصر التي تحويها مجموعة الأعداد الطبيعية natural number . قام كانتور بتقديم تعريف آخر للمصطلح و هو أن المجموعة تكون معدودة إذا أمكن مقابلة عناصرها واحدا لواحد مع مجموعة جزئية من الأعداد الطبيعية . فبما أن الأعداد الطبيعية هي المستعملة دوما بغرض العد فإن أي مجموعة تفوق هذه المجموعة بالحجم تعتبر غير معدودة و غير قابلة للعد uncountable .

الأحجام المختلفة للمجموعات غير المنتهية من اختصاص نظرية الأعداد الترتيبية .

[عدل] تعريف رياضي

تكون المجموعة S معدودة countable إذا وجدت دالة متباينة injective :

اذا كان f تقابليا عندئذ تدعى لامنتهية عديا countably infinite .

مع هذا فإن بعض المؤلفين يستخدم مصطلح معدود countable ليدل على ما هو غير منتهي عديا countably infinite .

مبرهنة:

إذا كانت S مجموعة غير فارغة عندئذ تكون العبارات التالية متكافئة :

(1) S مجموعة معدودة

(2) هناك دالة متباينة تحقق ما يلي :

(3) هناك دالة غامرة