زمرة فراغية

في الرياضيات وفي علم البلورات، الزمرة الفراغية لبلورة ما هي عبارة عن زمرة تماثل تصف البلورة في فضاء ثلاثي الأبعاد، والذي يمكن أن يأخذ شكلاً من بين مائتين وثلاثين حالة.

التاريخ

استعملت الزمر الفراغية في الفضاء ثلاثي الأبعاد لأول مرة عام 1891 من قبل العالم الروسي يفغراف فيودوروف، والتي سرعان ما طبقت من قبل آرثر موريتز شونفليس Arthur Moritz Schönflies و وليام بارلو William Barlow. حوت الترميزات الأولى على بعض الأخطاء الطفيفة في المجموعات الفراغية، والتي صلحت فيما بعد نتيجة المراسلات بين فيودوروف وشونفليس.

عناصر المجموعات الفراغية

تتكون الزمر الفراغية في الفضاء ثلاثي الأبعاد من تركيب 32 مجموعة نقط بلورية Crystallographic point group مع 14 شبكة برافيه والتي تنتمي إلى واحدة من الأنظمة البلورية السبعة. يتضمن هذا التركيب إجراء عمليات تناظر انزلاقي على وحدة الخلية بما فيها توسيط الشبكة البلورية، وعمليات التناظر من انعكاس ودوران وانعكاس دوراني، بالإضافة إلى إجراء عمليات تناظر أخرى مثل المحور اللولبي Screw axis و مستوي الانزلاق glide plane.

إن مجموع هذه العمليات في الفضاء ثلاثي الأبعاد يعطي مائتين وثلاثين حالة يمكن وصف تناظر بلورة من خلالها. في حال عدم أخذ توجيه الفراغ بعين الاعتبار فإننا نحصل على 219 مجموعة فراغية، أما الإحدى عشرة حالة المتبقية فتكون عبارة عن حالات تماكب ضوئي enantiomorph.

جدول الزمر الفراغية في فضاء ثلاثي الأبعاد

نظام بلوري	مجموعة نقطية		#	المجموعة الفراغية (حسب الترميز الدولي)
	ترميز هيرمان-موغان	ترميز شونفليس
ثلاثي الميل (2)	1	C1	1	P1
	1	Ci	2	P1
أحادي الميل (13)	2	C2	3-5	P2, P21, C2
	m	Cs	6-9	Pm, Pc, Cm, Cc
	2/m	C2h	10-15	P2/m, P21/m, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c
معيني مستقيم (59)	222	D2	16-24	P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121
	mm2	C2v	25-46	Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2
	mmm	D2h	47-74	Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma
رباعي (68)	4	C4	75-80	P4, P41, P42, P43, I4, I41
	4	S4	81-82	P4, I4
	4/m	C4h	83-88	P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a
	422	D4	89-98	P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122
	4mm	C4v	99-110	P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc, I4mm, I4cm, I41md, I41cd
	42m	D2d	111-122	P42m, P42c, P421m, P421c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2, I4m2, I4c2, I42m, I42d
	4/mmm	D4h	123-142	P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd
ثلاثي (25)	3	C3	143-146	P3, P31, P32, R3
	3	S6	147-148	P3, R3
	32	D3	149-155	P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32
	3m	C3v	156-161	P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c
	3m	D3d	162-167	P31m, P31c, P3m1, P3c1, R3m, R3c,
سداسي (27)	6	C6	168-173	P6, P61, P65, P62, P64, P63
	6	C3h	174	P6
	6/m	C6h	175-176	P6/m, P63/m
	622	D6	177-182	P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322
	6mm	C6v	183-186	P6mm, P6cc, P63cm, P63mc
	6m2	D3h	187-190	P6m2, P6c2, P62m, P62c
	6/mmm	D6h	191-194	P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc
مكعب (36)	23	T	195-199	P23, F23, I23, P213, I213
	m3	Th	200-206	Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3
	432	O	207-214	P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132
	43m	Td	215-220	P43m, F43m, I43m, P43n, F43c, I43d
	m3m	Oh	221-230	Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m, Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c, Im3m, Ia3d

المراجع

• Barlow, W (1894), "Über die geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle", Z. Kristallogr. 23: 1–63
• Bieberbach, Ludwig (1911), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume", Mathematische Annalen 70 (3): 297–336, doi:10.1007/BF01564500, ISSN 0025-5831
• Bieberbach, Ludwig (1912), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich", Mathematische Annalen 72 (3): 400–412, doi:10.1007/BF01456724, ISSN 0025-5831
• Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans (1978), Crystallographic groups of four-dimensional space, New York: Wiley-Interscience John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-03095-9, MR0484179
• Burckhardt, Johann Jakob (1947), Die Bewegungsgruppen der Kristallographie, Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften, 13, Verlag Birkhäuser, Basel, MR0020553
• Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), "On three-dimensional space groups", Beiträge zur Algebra und Geometrie. Contributions to Algebra and Geometry 42 (2): 475–507, ISSN 0138-4821, MR1865535, http://www.emis.de/journals/BAG/vol.42/no.2/17.html
• Fedorov, E. S. (1891), "Symmetry of Regular Systems of Figures", Zap. Mineral. Obch. 28 (2): 1–146
• Fedorov, E. S. (1971), Symmetry of crystals, ACA Monograph, 7, American Crystallographic Association
• Hahn, Th. (2002), Hahn, Theo, ed., International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry, A (5th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1107/97809553602060000100, ISBN 978-0-7923-6590-7, http://it.iucr.org/A/
• Hall, S.R. (1981), "Space-Group Notation with an Explicit Origin", Acta Cryst. A37: 517–525
• Kim, Shoon K. (1999), Group theoretical methods and applications to molecules and crystals, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64062-6, MR1713786
• Plesken, Wilhelm; Schulz, Tilman (2000), "Counting crystallographic groups in low dimensions", Experimental Mathematics 9 (3): 407–411, ISSN 1058-6458, MR1795312, http://projecteuclid.org/euclid.em/1045604675
• Schönflies, Arthur Moritz (1891), "Theorie der Kristallstruktur", Gebr. Bornträger, Berlin.
• Zassenhaus, Hans (1948), "Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen", Commentarii Mathematici Helvetici 21: 117–141, doi:10.1007/BF02568029, ISSN 0010-2571, MR0024424, http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=166&ID=380406