مجسم دوراني

المجسم الدوراني في الرياضيات هو كل جسم ينشأ عن دوران منطقة مستوية حول محور دوران مستقيم ثابت دورة كاملة , ويسمى المستقيم بمحور المجسم .

محتويات

رموز :

r = نصف القطر

h = الارتفاع

A = المساحة أو مساحة القاعدة

V = الحجم

يتم حساب الحجم بعدة طرق ,منها :

تكامل بالأقراص لمجسم دوراني محور المحور الصادي
للدالة $f(y) = \sqrt(y)$

مقال تفصيلي :تكامل بالأقراص

تقوم الطريقة على تقسيم الجسم إلى أقراص غير متناهية.

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور السينات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :

$V = \pi \int_a^b {\left[R(x)\right]}^2\ \mathrm{d}x$

حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور الصادات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :

$V = \pi \int_a^b {\left[R(y)\right]}^2\ \mathrm{d}y$

حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

هذا القسم فارغ أو غير مكتمل، مساعدتكم مرحب بها!

الأجسام الدورانية متنوعة بتنوع منحنيات الدوال , ولكن هناك أجسام مشهورة منها :

اسم الجسم	ينشأ عن دوران	معادلة المنطقة المستوية	معادلة حساب الحجم
اسطوانة	مستطيل	$f(x) = r \,$	$V = \pi \int_0^h f(x)^2 dx$
مخروط	مثلث قائم الزاوية	$f(x) = \frac{r}{h} x \,$	$V = \pi \int_0^h f(x)^2 dx$
كرة	نصف دائرة	$f(x) = \sqrt{r^2-(x-r)^2} \,$	$V = \pi \int_0^{2r} f(x)^2 dx$
مخروط ناقص	شبه منحرف	$f(x) = \frac{r}{h}\times (x+H) \,$ حيث H ارتفاع الجزء الناقص	$V = \pi \int_0^h f(x)^2 dx$