مساحة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
ثلاثة أشكال هندسية معهودة.

المساحة هي قياس لمنطقة محصورة في نطاق معين في سطح، وأبسط شكل لها هي المنطقة المحصورة بين أربع خطوط بنفس الطول، اثنان منها متوازية والإثنان الثانية متعامدة مع الأولى، أي على شكل مربع. ومن هذا الشكل يتم اشتقاق كل أشكال المساحة الأخرى، وعندما يكون طول هذه الخطوط وحدة قياس طول واحدة، فإن المساحة المحصورة بينها تعتبر وحدة قياس مساحة واحدة، وبالتالي فإذا كان هناك مربع، طول ضلعه متر واحد، فإن مساحته تساوي مترا مربعا واحدا.

يمكن حساب المساحة بعدد مربعات وحدة المساحة الجزئية والكاملة. في النظام الدولي للوحدات الوحدة القياسية للمساحة هو المتر المربع (كما هو مكتوب m2)، وهو مساحة مربع طول ضلعه متر واحد.[1] شكل ذو مساحة ثلاثة متر مربع لديه نفس المساحة لثلاثة من هذه المربعات ذات المتر الواحد طولا. وهناك العديد من الصيغ المعروفة للمساحات لأشكال بسيطة مثل المثلثات والمستطيلات والدوائر. باستخدام هذه الصيغ، يمكن حساب مساحة أي مضلع من خلال تقسيم المضلع إلى مثلثات.[2]أو الدوائر للحصول على الأشكال المنحنية مع الحدود، وعادة ما يتطلب حساب التفاضل والتكامل لحساب المجال. في الواقع، كانت مشكلة تحديد مجال الأرقام دافعا كبيرا للتطور التاريخي في حساب التفاضل والتكامل.[3] إذا أخذنا شكلا صلبا مثل كرة، مخروط أو اسطوانة، تسمى مساحة سطح حدود هذا الشكل بمساحة السطح.[4] حسبت[5] معادلات مساحات السطح للأشكال البسيطة من قبل الإغريق، ولكن حساب المساحة السطحية للشكل هي الأكثر تعقيدا وعادة ما يتطلب حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات.

معادلات لقياس المساحة[عدل]

مساحة الدائرة ذات الشعاع r.

مسلمة مساحة المستطيل والتي تنص على أن مساحة المستطيل تساوى طوله×عرضه وهذا شيء بديهى يمكن إدراكه بدون البرهنة عليه وذلك بملاحظة أنه عند فرض مستطيل عرضه الوحدة (لكى يكون عرضه غير مؤثر في المساحة بحيث يكون الطول وحده هو الذي يتحكم في قيمة المساحة) وطوله عدد معين من الوحدات نلاحظ أن عدد الوحدات المربعة والتي تشكل مساحة المستطيل يساوى عدد الوحدات الطولية التي تشكل طول المستطيل وبزيادة عدد وحدات الطول نلاحظ أن مساحة المستطيل تزداد بنفس المقدار ومن ذلك يتضح أن مساحة المستطيل تساوى طوله×عرضه.

  • مساحة المثلث: ½ × القاعدة × الارتفاع S = 1/2 bh
  • مساحة الدائرة:A = \pi r^2 \,
  • مساحة سطح الكرة:A = 4 \pi r^2 \,
  • مساحة الشكل البيضاوي (أو الأهليجي): باي({\pi}) × نق المحور الأكبر × نق المحور الأصغر
  • يمكن قياس مساحة الأشكال المعقدة والمساحات المحصورة بين الدوال باستخدام علم التفاضل
  • مساحة المربع: طول الضلع تربيع (ل²)

وحدات قياس المساحة[عدل]

والفدان أكبر قليلا من الإيكر الأنجلو أمريكي.

  • الإيكر (Acre) يساوي 4046.8564224 متر مربع.
  • قصبة (وحدة تستخدم في البلاد العربية) تعادل 30،25 ياردة مربعة.

مساحة بعض الأشكال الهندسية[عدل]

يعطي هذا الجدول معادلات المساحة لبعض الأشكال في الهندسة المستوية :

الشكل صفـاته المساحة A
المربع طول الضلع a A = a^2
المستطيل الطول والعرض a,\,b A = a \cdot b
المثلث
(انظر أيضا: مساحة المثلث)
القاعدة g ، الارتفاع h ، عمودي علىg A = \frac{g \cdot h}{2}
شبه منحرف الضلعان المتوازيان a,\,c ، الارتفاع h، عمودي علىa وc A = \frac{a + c}{2} \cdot h
المعين المحورين d_1 وd_2 A = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}
متوازي الأضلاع طول الضلع a ، الارتفاع h_a ، عمودي على a A = a \cdot h_a
دائرة نصف القطر r A = \pi r^2
قطع ناقص المحور الطويل 2a والمحور القصير 2b A = \pi ab
مسدس منتظم طول الضلع a A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2

من أجل تعيين مساحة متعدد الأضلاع فيمكن تقسيمه إلى مثلثات، ثم جمعها بعد حساب مساحاتها. وإذا كانت الإحداثيات (x_i, y_i), i=1 \dots n لعدد n من الأركان لمتعدد الأضلاع معروفة، فيمكن حساب المساحة بواسطة معادلة جاوس لشبه المنحرف:

A = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (y_i + y_{i+1})(x_i-x_{i+1})

حيث:

x_{n+j}=x_j
و y_{n+j}=y_j

الأشكال أخرى يمكن تقريبها لمضلع متعدد الأضلاع وتكملة حسابها بالتقريب.

حساب مساحة اسطح بعض الأجسام[عدل]

رباعي السطوح Tetraeder
Gerader Kegel mit abgewickelter Mantelfläche
الشكل صفاتـه Oberfläche A
مكعب Seitenlänge a A = 6a^2
متوازي أضلاع الطول، والعرض، والارتفاع a,\,b,\,c A = 2(ab+ac+bc)
رباعي السطوح طول الضلع a A = \sqrt{3}\,a^2
الكرة
(انظر أيضا: سطح الكرة)
نصف القطر r A = 4\pi r^2
أسطوانة نصف قطر القاعدة r ، الارتفاع h A = 2 \pi r (r + h)
مخروط نصف قطر القاعدة r ، الارتفاع h A = \pi r (r + \sqrt{r^2+h^2})
طارة (رياضيات) نصف قطر الطارة R, نصف قطر المقطع r A = 4\pi^2 \cdot R \cdot r

حساب التكامل[عدل]

تعيين المساحة تحت منحنى بين النقطتين a وb بالتقريب عن طريق تقسيمها إلى مستطيلات ضيقة. وهذه هي فكرة حساب التكامل.

يستعمل حساب التكامل بغرض تعيين المساحة تحت منحنى في منحنى بياني. وتنبع تلك الفكرة من امكانية تقسيم المساحة المحصورة بين المنحنى البياني والمحور الأفقي x إلى مجموعة من المستطيلات الضيقة، وينبع معنى حساب التكامل من جعل عرض المستطيلات المختارة يقترب من الصفر (عندما تقترب dx من الصفر).

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ http://en.wikipedia.org/wiki/Bureau_International_des_Poids_et_Mesures retrieved 15 July 2012
  2. ^ http://en.wikipedia.org/wiki/Mark_Overmars Otfried Schwarzkopf (2000). "Chapter 3: Polygon Triangulation". Computational Geometry (2nd revised ed.).
  3. ^ http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Benjamin_Boyer (1959). A History of the Calculus and Its
  4. ^ http://mathworld.wolfram.com/Area.html
  5. ^ http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html

وصلات خارجية[عدل]