معادلات كيرشوف

في ديناميكا الموائع ,معادلات كيرشهوف تصف حركة جسم جاسئ في مائع مثالي .

$\begin{align} {d\over{dt}} {{\partial T}\over{\partial \vec \omega}} & = {{\partial T}\over{\partial \vec \omega}} \times \vec \omega + {{\partial T}\over{\partial \vec v}} \times \vec v + \vec Q_h + \vec Q, \\[10pt] {d\over{dt}} {{\partial T}\over{\partial \vec v}} & = {{\partial T}\over{\partial \vec v}} \times \vec \omega + \vec F_h + \vec F, \\[10pt] T & = {1 \over 2} \left( \vec \omega^T \tilde I \vec \omega + m v^2 \right) \\[10pt] \vec Q_h & =-\int p \vec x \times \hat n \, d\sigma, \\[10pt] \vec F_h & =-\int p \hat n \, d\sigma \end{align}$

$\vec \omega$ و $\vec v$ السرعة الزاوية والخطية على محور $\vec x$ , زخم موتّر العطالة $\tilde I$ , $m$ الكتلة , $\hat n$ وحدة طبيعية عند نقطة على سطح الجسم $\vec x$ , $p$ الضغط , $\vec Q_h$ عزم الدوران $\vec F_h$ القوة .

إذا كان الجسم مغمور كليا

${d\over{dt}} {{\partial L}\over{\partial \vec \omega}} = {{\partial L}\over{\partial \vec \omega}} \times \vec \omega + {{\partial L}\over{\partial \vec v}} \times \vec v, \quad {d\over{dt}} {{\partial L}\over{\partial \vec v}} = {{\partial L}\over{\partial \vec v}} \times \vec \omega,$

$L(\vec \omega, \vec v) = {1 \over 2} (A \vec \omega,\vec \omega) + (B \vec \omega,\vec v) + {1 \over 2} (C \vec v,\vec v) + (\vec k,\vec \omega) + (\vec l,\vec v).$

تكون القراءة الأولى للتفاضل

$J_0 = \left({{\partial L}\over{\partial \vec \omega}}, \vec \omega \right) + \left({{\partial L}\over{\partial \vec v}}, \vec v \right) - L, \quad J_1 = \left({{\partial L}\over{\partial \vec \omega}},{{\partial L}\over{\partial \vec v}}\right), \quad J_2 = \left({{\partial L}\over{\partial \vec v}},{{\partial L}\over{\partial \vec v}}\right)$.

المراجع

• Kirchhoff G. R. Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik. Lecture 19. Leipzig: Teubner. 1877.
• Lamb, H., Hydrodynamics. Sixth Edition Cambridge (UK): Cambridge University Press. 1932.