معادلات ماكسويل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

معادلات ماكسويل عبارة عن أربع معادلات تفاضلية جزئية تصف سلوك وتغيرات المجالين الكهربائي والمغناطيسي، وتآثراتهما مع المادة وتحولاتهما إلى أشكال أخرى من الطاقة. وقد نشر الفيزيائي جيمس كلارك ماكسويل هذه المعادلات بين عامي 1861-1862 م، وهذه المعادلات تصف العلاقات المتبادلة بين كل من المجالات الكهربائية والمجالات المغناطيسية والشحنات الكهربائية والتيار الكهربائي.

نص قانون ماكسويل في الكهرومغناطيسية: ((إذا انتقلت دائرة أو جزء من دائرة كهربائية مغلقة ضمن مجال مغناطيسي منتظم فإنها تبذل شغلاً يساوي شدة التيار الكهربائي المارة فيها في تغير التدفق المغناطيسي الذي يجتازها))

تاريخيا[عدل]

كانت هذه المعادلات معروفة من قبل لكن بصيغة مختلفة :

  • \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho
  • \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
  • \nabla \times \mathbf{E} = 0
  • \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}

الدافع وراء نسبة هذه المعادلات إلى ماكسويل رغم أنه ليس هو من وضعها هو اكتشافه وبرهنته على أنها سليمة فقط في حال كان المجال الكهربائي E ساكنا. أي أن المعادلات السابقة هي حالة خاصة ولا تنطبق إلا عندما يكون :

\frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}=0

قام ماكسويل بافتراض تصحيحات لهذه المعادلات ولم يثبتها في التجربة وقام بتعميمها لتشمل المجالات الكهربية المتغيرة زمنيا مما مهد الطريق لاكتشاف الموجات الكهرومغناطيسية ومعادلتها كما فرض أن الضوء عبارة عن موجة كهرومغناطيسية إضافة إلى أهم ما قام به وهو افتراض وجود تيار يسري في العوازل أطلق عليه مسمى تيار الإزاحة.

المعادلات[عدل]

مسمى المعادلة الشكل التفاضلي الشكل التكاملي
قانون غاوس: \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_S  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV
قانون غاوس للمغناطيسية : \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
قانون الحث لفرداي: \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
قانون أمبير مضافا إلى تصحيح ماكسويل: \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}

والجدير بالذكر أن المعادلة الأخيرة هي في الأصل تعديل للقانون الأصلي لأمبير والذي يصف العلاقة بين المجال المغناطيسى والتيارات المنشئة له في صورتها التكاملية ولكن بعد الوضع في الاعتبار تيار الإزاحة---- وقانون أمبير في صورته العامة يوضح أن المجال المغناطيسى يمكن أن ينشأ عن تيار كهربى أو عن مجال كهربى متغير مع الزمن.

الصورة التكاملية لمعادلات ماكسويل في الفراغ[عدل]

العلاقة الفيزيائية الظاهرة الطبيعية(الفيزيائية)
قانون جاوس للكهربية يعبر هذا القانون عن العلاقة بين فيض المجال الكهربى من سطح مغلق والشحنة الموجودة داخل السطح المغلق.
قانون جاوس للمغناطيسية ويعبر هذا القانون عن الحقيقة التجريبية القائمة حتى الآن وهو عدم وجود قطب مغناطيسي منفرد.
قانون فاراداي يعبر عن العلاقة بين القوة الدافعة الكهربية ق.د.ك الناشئة بالحث في مسار مغلق ومعدل تغير فيض المجال المغناطيسى خلال أي سطح محدود بالمسار المغلق، ويبرهن عدم اعتماد فرق الجهد على المسار الذي يسلكه.
قانون أمبير - ماكسويل(Ampere-Maxwell Law) يعبر عن العلاقة بين المجال المغناطيسي والتيارات المنشئة له(تيار التوصيل الفعلى وتيار الإزاحة

اشتقاق سرعة الضوء من معادلات ماكسويل[عدل]

قام ماكسويل بحل هذه المعادلات الأربع للفراغ وتوصل إلى الصلة الوثيقة بين سرعة الموجة الكهرومغناطيسية وبين ثابت العازلية وثابت النفاذية.

يمكن إعادة المعادلات السابقة على افتراض أن الضوء ينتشر في الفراغ حيث لاتوجد أي شحنات كهربائية أي أن \rho=0\, و\mathbf{J}=0\, فتصبح بالصورة

  • \nabla \cdot \mathbf{E} =  0
  • \nabla  \cdot \mathbf{B} =  0
  • \nabla  \times \mathbf{E} =  -\frac{\partial  \mathbf{B}}{\partial  t}
  • \nabla  \times \mathbf{B} =  \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}  {\partial t}

لإيجاد معادلة الموجة يجب إيجاد المشتقة الثانية في كل من الزمن والفضاء. بداية بأخذ الالتواء لطرفي المعادلة الثالثة وبتعويض النتيجة في المعادلة الرابعة نجد أن

\nabla    \times (\nabla    \times  \mathbf{E}) = -\frac{\partial \mathbf{\nabla  \times  \mathbf{B}}}{\partial t}

من نظرية تفاضل المتجه، نعلم أن \nabla    \times (\nabla   \times  \mathbf{E}) = -\nabla^2\mathbf{E} + \nabla \cdot(\nabla \cdot \mathbf{E})

على هذا الأساس تصبح

\nabla^2\mathbf{E}=  \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \mathbf{E}}  {\partial t^2}

وهذه معادلة موجة في ثلاثة أبعاد، وللتبسيط يمكن دراستها في بعد واحد بالشكل

\frac{\partial^2 E}  {\partial x^2}=   \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 E} {\partial t^2}

بالبحث عن حل للمعادلة الجيبية، بدلالة السرعة v والطول الموجي \lambda يفترض أن تكون

E = E_0 sin(2\pi\frac{x-vt}{\lambda})

بمفاضلة هذه المعادلة مرتين نحصل على

\frac{\partial^2  E} {\partial x^2}= - E_0 \left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2 sin\left(2\pi\frac{x-vt}{\lambda}\right)
و
\frac{\partial^2 E} {\partial t^2}= - E_0 \left(\frac{2\pi v}{\lambda}\right)^2 sin\left(2\pi\frac{x-vt}{\lambda}\right)

بالتعويض عنها مرة أخرى في معادلة الموجة نجد أنها تمثل حلاً شريطة أن

v^2=\frac{1}{\mu_0\epsilon_0}

أي أن سرعة الموجة الكهرومغنطيسية هي:

v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}

انظر أيضاً[عدل]