معادلة تربيعية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
رسم تخطيطي للدالة التربيعية ax2 + bx + c. في كل مرة نقوم بتغيير قيمة أحد معاملات الدالة (بينما يكون المعلاملان الآخران ثابتين) نلاحظ تغير المنحنى البياني.

في الرياضيات, المعادلة التربيعية هي معادلة جبرية أحادية المتغير من الدرجة الثانية، تكتب وفق الصيغة العامة

ax^2 + bx + c = 0\;

حيث يمثل x المجهول أو المتغير أما {a}، {b} ، {c} فيطلق عليها الثوابت أو المعاملات.

يطلق على {a} المعامل الرئيسي وعلى {c} الحد الثابت . و يشترط أن يكون a\ne 0. أما إذا كان {a=0} عندها تصبح المعادلة معادلة خطية.

إيجاد حلول (أو جذور) المعادلة التربيعية يتم باستعمال عدة طرق: باستعمال الصيغة التربيعية، طريقة إكمال المربع، طريقة حساب المميز (أو المحدد)، طريقة الرسم البياني.

حل معادلة تربيعية[عدل]

للمعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية أو العقدية حلّان (ليس بالضرورة أن يكونا متمايزين)، تسمّى جذور المعادلة و ليس من الضرورة أن تكون هذه الجذور أعدادا حقيقيةً دوما. يتم إيجاد حلول المعادلة التربيعية بإحدى الطرق التالية:

الصيغة التربيعية[عدل]

الصيغة التربيعية أو الشكل العام هي العبارة الرياضية التي يتم بها حساب حلول المعادلات التربيعية وتعطى بالعلاقة التالية:

x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

الرمز "±" يعني وجود حلين هما:

x_1 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad \text{,}\quad x_2 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}


طريقة استنتاج العلاقة التربيعية

نعتبر معادلة تربيعية من الشكل:

ax^2 + bx + c = 0\;
  • يتم قسمة جميع المعامل الأطراف على {a} (بما أن {a} \ne 0):
 \frac{a}{a} x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\!
  • و منه:
 x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\!
  • نضيف عددا يساوي (\frac{b}{2a})^2\! إلى الطرفين وهذا يجعل الطرف الأيسر يبدو في شكل جداء شهير (أو ما يسمى "مربع كامل").
 x^2 +\frac{b}{a}x+ (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} +(\frac{b}{2a})^2\!
  • نكتب الطرف الأيسر على شكل جداء تربيعي:
(x + \frac{b}{2a})^2 =\sqrt{-\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2}\!
  • نشكل معادلتين خطيتين بمساواة الجذر التربيعي للطرف الأيسر بالجذر التربيعي الموجب والسالب للطرف الأيمن.
 x+ \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2} \!
  • نحل المعادلين الخطتين المشكلتين.
 x = -\frac{b}{2a}\pm \sqrt{-\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2}\!
  • بتبسيط العلاقة السابقة نحصل على العبارة التالية والتي تمثل الصيغة التربيعية أوالشكل العام للجذور:
x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}

علاقة المعاملات بالجذور[عدل]

إذا كان \ x_1 ، \ x_2 هما جذري المعادلة

ax^2+bx+c=0\!

فإن العلاقة بين معاملات المعادلة و جذورها تكون كالتالي:

x_1 + x_2 = \frac{-b }{a}\quad \text{,}\quad x_1.x_2 = \frac{c}{a}

طريقة إكمال المربع[عدل]

يتم استعمال طريقة إكمال المربع بتبسيط المعادلة وتحويلها إلى الشكل: x^2+2xh+h^2 = (x+h)^2\!

ويتم ذلك بإضافة عدد ثابت ذو قيمة مناسبة إلى كلا الطرفين لجعل الطرف الأيسر يظهر في شكل جداء شهير (مربع كامل). ويتم تطبيق الطريقة وفق المراحل التالية: نعتبر معادلة تربيعية من الشكل: ax^2 + bx + c = 0\;

  1. يتم قسمة جميع معاملات الأطراف على a (بما أن a \ne 0)
  2. ننقل المعامل الثابت \frac{c}{a}\! إلى الجانب الآخر للمعادلة (الجانب الأيمن).
  3. نضيف عددا يساوي (\frac{b}{2a})^2\! إلى الطرفين وهذا يجعل الطرف الأيسر يبدو في شكل جداء شهير.
  4. نكتب الطرف الأيسر على الشكل التربيعي ونبسط الطرف الأيمن إن أمكن.
  5. نشكل معادلتين خطيتين بمساواة الجذر التربيعي للطرف الأيسر بالجذر التربيعي الموجب والسالب للطرف الأيمن.
  6. نحل المعادلين الخطتين المشكلتين.
مثال توضيحي

إيجاد حلول المعادلة: x^2+2x-2 = 0\!

x^2+2x-2 = 0\!
x^2+2x = 2\!
x^2+2x+1 = 2+1\!
(x+1)^2 = 3\!
x+1 = \pm \sqrt {3} \!
x = -1\pm \sqrt {3}\!

طريقة المميز[عدل]

إشارة المميز

نعتبر المعادلة ax^2 + bx + c = 0\;

حيث  a و  b و  c تمثل أعدادا حقيقة و a \ne 0

المميز (أو المحدد) لمعادلة تربيعية هو العدد \Delta الذي يحسب بالعلاقة: \Delta = b^2 - 4ac \;

يتم حساب قيمة جذور المعادلة استنادا إلى قيمة المميز \Delta:

  • إذا كان (\Delta > 0) ، فالمعادلة لها حلين حقيقيين مختلفين:
 x_1 = \frac {-b - \sqrt \Delta}{2a}\quad \text{,}\quad x_2 = \frac {-b + \sqrt \Delta}{2a}
  • إذا كان (\Delta = 0)، فالمعادلة لها حلًا حقيقيًا واحدًا مضاعفًا:
 x_1=x_2 = -\frac b{2a}\;
  • إذا كان (\Delta <0) فالمعادلة ليس لها حلول حقيقة، بل لها حلان مركبان (تخيليان).

طريقة الرسم البياني[عدل]

أي دالة تربيعية لها شكل قطع مكافىء، الدالة أعلاه هي f (x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) يتقاطع منحناها مع محور الفواصل في نقطتين هما x = −1 and x = 2، تمثل هاتان النقطتان حلي المعادلة التربيعية x2 − x − 2 = 0

الدوال من الشكل  f(x)=ax^2 + bx + c = 0\; تسمى دوال تربيعية.

جميع الدوال التربيعية لها شكل عام متشابه يسمى القطع المكافىء، موقع وحجم المقطع يرتبط بالقيم  a ،  b ،  c.

إذا كان a<0 فإن المقطع تكون له قيمة أعظمية كبرى وشكله يكون منفتحا نحو الأسفل، أما إذا كان a>0 فإن المقطع تكون له قيمة أعظمية صغرى وشكله يكون منفتحا نحو الأعلى.

فاصلة النقطة الأعظية (سواء كبرى أو صغرى) هي النقطة  x= -\frac b{2a}\; ، أما ترتيبتها فنحصل عليها بتعويض قيمة x في عبارة الدالة.

حلول الدالة التربيعية هي نقاط تلاقي منحنى الدالة مع محور الفواصل x.

انظر أيضاً[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg هذه بذرة مقالة عن الرياضيات تحتاج للنمو والتحسين. ساهم في إثرائها بالمشاركة في تحريرها.