معادلة حفظ الطاقة المدارية

في ديناميكا الفضاء ,معادلة حفظ الطاقة المدارية ((بالإنجليزية: Vis-viva equation)) هي أحد المعادلات الأساسية التي تحدد الحركة المدارية للأجسام.

معادلة حفظ الطاقة المدارية

معادلة حفظ الطاقة المدارية n لمدار كيبلرسواء كان بيضاوي الشكل أو قطع مكافئ أو قطع زائد أوشعاعي هي :

$v^2 = G(M\!+\!m) \left({{ 2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right)$

• $v\,\!$ السرعة النسبية للجسمين
• $r\,\!$ المسافة الفاصلية بين جسمين
• $a\,\!$ محور شبه رئيسي (a>0 في حالةقطع ناقص، $a=\infty$ أو $\tfrac{1}{a}$=0 لـ قطع مكافئ,و a<0 لـ قطع زائد)
• $G\,\!$ ثابت الجاذبية
• $M, m\,\!$ كتلة الجسيمين

استنتاج المعادلة

طاقة المدار الكلية هي مجموع الطاقة الكامنة المشتركة والطاقة الحركية للجسم الأول M والجسم الثاني m وتعطى بالمعادلة التالية :

$E = \frac{-GM m}{r} + \frac{M (v_M)^2 }{2} + \frac{m (v_m)^2}{2}$

• $v_{M}\,\!$ سرعة الجسم M.
• $v_{m}\,\!$ سرعة الجسم m

ويمكن حساب طاقة المدار باستخدام كميات نسبية

$E = \frac{- GM m}{r} + \mu \frac{v^2}{2}$

• $v\,\!$ السرعة النسبية للكتلتين
• $\mu = \frac{ M m }{M\!+\!m}$ كتلة مخفضة

بينما تكون الطاقة الكلية للمدار الإهليجي أو الدائري

$E = \frac{-G M m}{2 a},$

• $a\,\!$ شبه المحور الرئيسي.

$\epsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{G(M\!+\!m)}{r}$

$\epsilon = \frac{ -G(M\!+\!m)}{2 a}$

وبمساواة المعادلتين السابقتين نحصل على

$v^2 = G(M\!+\!m) \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right).$