معادلة ديفونتية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من معادلة ديوفانتية)
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، المعادلة الديفونتية هي معادلة كثيرة حدود في متغيرين أو أكثر بشرط أنه لايتم دراسة إلا الحلول الصحيحة. المعادلة الديفونتية الخطية هي معادلة في مجموع من وحيدات حد من الدرجة الأولى أو الصفرية. يعود أصل الكلمة ديفونتية إلى العالم اليوناني ديوفانتوس والذي عاش في القرن الثالث قبل الميلاد في الإسكندرية، حيث قام بدراسة هذه المعادلات وكان من أول العلماء الذين قاموا بإضافة الرموز الرياضية إلى الجبر. على الرغم من أن المعادلات الديفونتية المفردة تم دراستها على مر التاريخ، فإنه لم يتمكن من صياغة نظريات شاملة حول المعادلات الديفونتية إلا في القرن العشرين.

أمثلة للمعادلات الديوفانتية[عدل]

في المعادلات الديوفانتية التالية x و y و z مجاهيل والحروف الأخرى تمثل ثوابت:

ax+by=1\, هذه معادلة ديوفانتية خطية (انظر فقرة "المعادلات الديوفانتية الخطية" أسفله).
x^n+y^n=z^n \, بالنسبة إلى n = 2 هناك عدد غير منته من الحلول حيث (x,y,z) هي ثلاثية فيثاغورس. عندما يكون n أكبر قطعا من 2, مبرهنة فيرما الأخيرة تنص على أنه لا توجد أية حلول موجبة طبيعية (x, y, z) تحقق المعادلة.
x^2-ny^2=\pm 1\, (معادلة بيل) سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الإنجليزي جون بيل. درست من طرف براهماغوبتا في القرن السابع كما درست من طرف فيرما في القرن السابع عشر.
\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} حدسية إيردوس–ستروس تنص على أنه بالنسبة لكل عدد طبيعي n، أكبر من أو يساوي 2، يوجد حل لهذه المعادلة حيث x و y و z هي أعداد موجبة طبيعية. رغم أن هذه المعادلة عادة ما لا تطرح على شكل متعددة للحدود، فإنها تكافئ المعادلة الحدودية التالية (4xyz = yzn + xzn + xyn = n(yz + xz + xy).

المعادلات الديوفانتية الخطية[عدل]

معادلة واحدة[عدل]

تكتب أبسط معادلة ديفونتية خطية على الصيغة ax + by = c ، حيث a و b و c أعداد صحيحة معطاة. تعطى جميع حلول المعادلة في المبرهنة التالية: يوجد للمعادلة الديفونتية حلول (حيث x و y أعداد صحيحة) إذا وفقط إذا كان c مضاعفاً لـالقاسم المشترك الأكبر لـa و b. بالإضافة إلى أنه إذا كان (x,y) حل، فإن الحلول الأخرى تكتب على الصيغة (x + kv, y - ku) ، حيث k عدد صحيح، و u و v بواقي قسمة a و b على القاسم المشترك الأكبر لـa و b.

مبرهنة الباقي الصيني[عدل]

تصف مبرهنة الباقي الصينية صنفاً مهماً من المعادلات الديفونتية الخطية: ليكن n1, ..., nk k عدد صحيح أولية نسبياً أكبر من 1، a1, ..., ak k عدد صحيح، و N حاصل ضرب n1 ··· nk. تنص مبرهنة الباقي الصيني أن نظام المعادلات الديفونتية الخطي التالي له حل واحد بالضبط (x, x1, ..., xk) بحيث 0 ≤ N ≥ x ، و أن الحلول الأخرى توجد بإضافة x مضاعف لـN:

\begin{align}
x&= a_1 + n_1\,x_1\\
&\vdots\\
x&=a_k+n_k\,x_k
\end{align}

التحليل الديوفانتي[عدل]

القرنين السابع عشر والثامن عشر[عدل]

مسألة هيلبرت العاشرة[عدل]

الأبحاث المعاصرة[عدل]

المعادلات الديوفانتية الخطية[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]