معادلة فوكر- بلانك

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
FokkerPlanck.gif

معادلة فوكر بلانك (Fokker-Planck equation) هي معادلة تصف التطور الزمني "التغير خلال الزمن" لتابع الكثافة الاحتمالية لسرعة جسيم ما. ويمكن ان تكتب بشكلها العام على شكل ابعاد متعددة باستخدام المؤثر نبلا. لكنها غالبا ما تكتب باختصار على اعتبار الحركة ذات بعد واحد.

تعود تسميتها نسبة إلى العالم الألماني الشهير [1] صاحب [2] والى العالم الهولندي ادريان فوكر وقد تسمى أحيانا بأسماء أخرى منها معادلة كولوكلوف المتقدمة "Kolmogorov Forward Equation" ومعادلة سمولوكوفسكي "Smoluchowski equation" وخاص عندما تصف هذه المعادلة التوزعات الاحتمالية الممكنة لموضع جسيم اي تغير احتمال أماكن تواجد جسيم في نقطة معينة خلال الزمن"

وقد أجري أول اشتقاق مجهري متسق لمعادلة فوكر بلانك في مخطط واحد من الميكانيكا الكلاسيكية والكمية بواسطة[3] من قبل نيكولاي بوغوليوبوف ونيكولاي كريلوف[4].

في بعد مكاني واحد x, معادلة فوكر – بلانك لمعلاج dX_t = D_1(X_t,t)dt + \sqrt{2 D_2(X_t,t)}dW_t مع انجراف ايتو D1(x,t) ونشر D2(x,t) هو:

\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)=-\frac{\partial}{\partial x}\left[ D_{1}(x,t)f(x,t)\right] +\frac{\partial}{\partial x}\left[ D_{2}(x,t)\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\right].

ومع ذلك، في كثير من الأحيان، في التطبيقات الفيزيائية نأخذ في الاعتبار معلاج ستراتونوفيتش ذو الصلة أكثر (مكتوب في شكل ايتو):

dX_t = \left[D_1(X_t,t) + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}D_2(X_t,t)\right]dt + \sqrt{2 D_2(X_t,t)}dW_t

والذي يتضمن عامل الانجراف المضاف وذلك بسبب الآثار الانتشار المتدرج. أكثر عموما، التوزيع الاحتمالي المعتمد على الزمن يعتمد على مجموعة من N متغيرات كلية x_i. الشكل العام للمعادلة فوكر بلانك يصبح بعد ذلك:

\frac{\partial f}{\partial t} = -\sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ D_i^1(x_1, \ldots, x_N) f \right] + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \, \partial x_j} \left[ D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) f \right],

حيث D^1 هو متجه الانجراف وD^2 هو موتر الانتشار; وينتج هذه الأخير من وجود القوة التصادفية..

مراجع[عدل]

  1. ^ ماكس بلانك
  2. ^ نظرية الكم
  3. ^ ن. ن. بوغوليوبوف (جونيور) ود. ب. سانكوفيتش (1994). "ن. ن. بوغوليوبوف ووالميكانيكا الإحصائية". الرياضيات الروسية. أستطلاعات 49(5): 19—49.
  4. ^ نيكولاي بوغوليوبوف ونيكولاي كريلوف (1939). معادلات فوكر بلانك ولدت في نظرية الاضطراب من خلال طريقة على أساس الخصائص الطيفية لهاميلتونيان مضطرب. قسم علم الفيزياء في أكاديمية العلوم الأوكرانية SSR 4: 81–157.