اختبارات تقارب متسلسلة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في التحليل الرياضي، نستخدم معايير التقارب للتحقق من تقارب سلسلة لامنتهية معطاة.

لتكن السلسلة S المكونة من مجموع حدود المتتالية \left \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\dots \right \}\!

S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\dots \!

نعرف S_N\! على انها سلسلة جزئية من S\!، حيث نكتفي بمجموع أول عدد N من الحدود

S_N=\sum_{n=1}^Na_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_N \!

نقول عن سلسلة بأنها متقاربة إذا تقاربت المتتالية المكونة من السلاسل الجزئية \left \{ S_1,\ S_2,\ S_3,\dots \right \}.

هناك عدة معايير لتحديد ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة

معيار المقارنة[عدل]

نقارن حدود المتتالية \{a_n\}\! بمتتالية أخرى \{b_n\}\! بحيث من أجل أي n،

اذا كان 0 \le \ a_n \le \ b_n، وكانت السلسلة \sum_{n=1}^\infty b_n هي سلسلة متقاربة، فان\sum_{n=1}^\infty a_n متقاربة حتماً.

أما إذا كان0 \le \ b_n \le \ a_n وكانت السلسلة \sum_{n=1}^\infty b_n هي سلسلة متباعدة، فان السلسلة \sum_{n=1}^\infty a_n هي سلسلة متباعدة حتماً.

معيار دالامبير[عدل]

من أجل كل القيم الموجبة لـ n وa_n، يوجد عدد L بحيث

L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
  • إذا كان L<1 فالسلسلة متقاربة.
  • إذا كان L>1 فالسلسة متباعدة.
  • في حال كان L=1 فعندها يكون المعيار غير ذي جدوى. ويمكن استخدام معيار رابي Raabe.

معيار رابي[عدل]

عندما \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1

واذا وجد عدد c>0 \! بحيث

\lim_{n\rightarrow\infty}
\,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)=-1-c فعندها نقول أن السلسلة مطلقة التقارب.

معيار كوشي الجذري[عدل]

نبحث عن قيمة النهاية k = \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n} \!

  • إذا كان k<1 \! فالسلسلة متقاربة.
  • إذا كان k>1 \! فالسلسلة متباعدة.
  • أما في حال k=1 \! فنقول أن المعيار غير دي جدوى.