معايير تقارب سلسلة

في التحليل الرياضي، نستخدم معايير التقارب للتحقق من تقارب سلسلة لامنتهية معطاة.

لتكن لدينا السلسلة $S$ المكونة من مجموع حدود المتتالية $\left \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\dots \right \}\!$

$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\dots \!$

نعرف $S_N\!$ على انها سلسلة جزئية من $S\!$، حيث نكتفي بمجموع أول عدد N من الحدود

$S_N=\sum_{n=1}^Na_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_N \!$

نقول عن سلسلة بأنها متقاربة إذا تقاربت المتتالية المكونة من السلاسل الجزئية $\left \{ S_1,\ S_2,\ S_3,\dots \right \}$.

هناك عدة معايير لتحديد ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة

معيار المقارنة

نقارن حدود المتتالية $\{a_n\}\!$ بمتتالية أخرى $\{b_n\}\!$ بحيث من أجل أي n،

اذا كان $0 \le \ a_n \le \ b_n$، وكانت السلسلة $\sum_{n=1}^\infty b_n$ هي سلسلة متقاربة، فان$\sum_{n=1}^\infty a_n$ متقاربة حتماً.

أما إذا كان$0 \le \ b_n \le \ a_n$ وكانت السلسلة $\sum_{n=1}^\infty b_n$ هي سلسلة متباعدة، فان السلسلة $\sum_{n=1}^\infty a_n$ هي سلسلة متباعدة حتماً.

معيار دالامبير

من أجل كل القيم الموجبة لـ n وa_n، يوجد عدد L بحيث

$L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

• إذا كان $L<1$ فالسلسلة متقاربة.
• إذا كان L>1 فالسلسة متباعدة.
• في حال كان L=1 فعندها يكون المعيار غير ذي جدوى. ويمكن استخدام معيار رابي Raabe.

معيار رابي

عندما $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

واذا وجد عدد$c>0 \!$ بحيث

$\lim_{n\rightarrow\infty} \,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)=-1-c$ فعندها نقول أن السلسلة مطلقة التقارب.

معيار كوشي الجذري

نبحث عن قيمة النهاية $k = \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n} \!$

• إذا كان $k<1 \!$ فالسلسلة متقاربة.
• إذا كان $k>1 \!$ فالسلسلة متباعدة.
• أما في حال $k=1 \!$ فنقول أن المعيار غير دي جدوى.