معضلة بازل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

معضلة بازل (بالإنكليزية: Basel problem) هي معضلة مشهورة في التحليل الرياضي، لها علاقة بنظرية الأعداد. وضعها لأول مرة بييترو منغولي عام 1644 وحلحلها ليونهارد أويلر عام 1735. سميت هذه المعضلة هكذا نسبة إلى المدينة السويسرية بازل حيث ولد أويلر وحيث عاشت أيضا عائلة برونولي التي حاول أعضاؤها أيضا حلحلة هذه المعضلة ولكن محاولاتها باءت بالفشل.


\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =
\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right).


كيف تطرق أويلر إلى المعضلة[عدل]

لتتبع المنطق الذي استخدمه أويلر، فلنطبق تمديد متسلسلة تايلور على دالة الجيب:

 \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots.

بقسمة حدي المعادلة أعلاه على x، يُحصل على ما يلي:

 \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots.

من جانب آخر، جذور الدالة (أو أصفارها، أي حين تصير الدالة مساوية للصفر) sin(x)/x، تقع بالتحديد عندما يكون x مضاعفا ل π (أي x = n\cdot\pi حيث n = \pm1, \pm2, \pm3, \dots\ )


\begin{align}
\frac{\sin(x)}{x} & {} =
\left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \\
& {} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots.
\end{align}

بنشر الجداء أعلاه وبالنظر بشكل حصري إلى المعاملات اللائي يذهبن مع مربع x، نجد أن هذا المعامل هو:


-\left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2} + \cdots \right) =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

ولكنه من خلال المعادلة الأولى التي حُصل عليها باستعمال تمديد متسلسلة تايلور، ومن خلال النظر إلى المعامل المصاحب لمربع x، نجد أن هذا المعامل هو −1/(3!) = −1/6. وبالتالي فإن:


-\frac{1}{6} =
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.

بضرب المعادلة أعلاه ب -\pi^2، نجد النتيجة النهائية كما يلي:


\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.

دالة زيتا لريمان[عدل]

برهان دقيق باستعمال متسلسلات فورييه[عدل]

برهان ابتدائي دقيق[عدل]

تاريخ هذا البرهان[عدل]

البرهان[عدل]

\sum_{k=1}^m \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{m^2}

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

Midori Extension.svg
هذه بذرة مقالة بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.