ملحق:قائمة الصيغ المحتوية ط

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

  بعض سلسلة مقالات عن
الثابت الرياضي π

PI.svg

استعمالات: مساحة قرص · المحيط
 · في صيغ أخرى

خواص: لا نسبية  · عدد متسام
 · أقل من 22/7

قيمة: تقريبات · تذكّر

أشخاص: أرشميدس · زو تشونغزي
 · مادهافا السنغماراي · وليم جون  · جون ماكن · جون رنش

تاريخ: تسلسل زمني · كتاب

ثقافة: تشريع  · إجازة

متعلقات: تربيع الدائرة  · مسألة بازل · أخرى

فيما يلي قائمة بأشهر الصيغ التي تحتي على الثابت الرياضي π. تحوي القائمة فقط على الصيغ التي تبدو جديرة بالملاحظة من خلال حديث المقال عنها خصوصا، أو من خلال المقالات المتعلقة بها عموما كما في التقريبات المستعملة لحساب ط.

الهندسة الكلاسيكية[عدل]

C = 2 \pi r = \pi d,\,

حيثC يمثل محيط دائرة، r هو نصف القطر وd القطر.

A = \pi r^2,\,

حيثA مساحة دائرة وr نصف قطرها.

A = \pi ab,\,

حيثA مساحة قطع ناقص وa, b نصفي قطريه.

V = {4 \over 3}\pi r^3,

حيث V حجم كرة وr نصف قطرها.

A = 4\pi r^2\,

حيث A المساحة السطحية لكرة وr نصف قطرها.

التحليل[عدل]

تكاملات[عدل]

\int_{-\infty}^{\infty} \text{sech}(x)dx = \pi
\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2} (see π)
\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi (see π)
\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \pi (صورة تكامليل لـ arctan أو معكوس الظل على نطاقها الداخلي معطيا الفترة ظا).
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi} (انظر أيضا توزيع طبيعي).
\oint\frac{dz}{z}=2\pi i (عندما يلتف مسار التكامل مرة باتجاه عكس عقارب الساعة حول الصفر. انظر أيضا صيغة تكامل كوشي)
\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.
\int_0^1 {x^4(1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx = {22 \over 7} - \pi (انظر أيضا إثبات أن 22/7 أكبر من ط).

متسلاسلات لانهائية ذات كفاءة[عدل]

\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^k k!^2}{(2k+1)!}=\frac{\pi}{2} (انظر أيضاً مضروب ثنائي)
12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}=\frac{1}{\pi} (انظرChudnovsky brothers)
\frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}=\frac{1}{\pi} (انظر Srinivasa Ramanujan)
\frac{\sqrt{3}}{6^5} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{((4k)!)^2(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!} \left(\frac{127169}{12k + 1} - \frac{1070}{12k + 5} - \frac{131}{12k + 7} + \frac{2}{12k + 11}\right)=\pi[1]

المتسلسلات التالية مناسبة لحساب مراتب اختيارية من π:

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left(\frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)=\pi (انظر Bailey-Borwein-Plouffe formula)
\frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left(- \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)=\pi

سلاسل لامنتهية أخرى[عدل]

\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}   (انظر أيضا مسألة بازل ودالة زيتا)
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
\zeta(2n)= \frac{1}{1^{2n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{4^{2n}} + \cdots = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \arctan{1} = \frac{\pi}{4}   (انظر صيغة ليبنيز لحساب ط)
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^4} = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{7^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{96}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^5} = \frac{1}{1^5} - \frac{1}{3^5} + \frac{1}{5^5} - \frac{1}{7^5} + \cdots = \frac{5\pi^5}{1536}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^6} = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{5^6} + \frac{1}{7^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{960}
 \pi = 3 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac {(-1)^n} {n(n-1)(2n-1)} = 3 + \frac {1} {{2}\cdot{1}\cdot{3}} - \frac {1} {{3}\cdot{2}\cdot{5}} + \frac {1} {{4}\cdot{3}\cdot{7}} - \frac {1} {{5}\cdot{4}\cdot{9}} + \cdots   (Madhava)
 \pi = {{1}} + \frac{{1}}{{2}} + \frac{{1}}{{3}} + \frac{{1}}{{4}} - \frac{{1}}{{5}} + \frac{{1}}{{6}} + \frac{{1}}{{7}} + \frac{{1}}{{8}} + \frac{{1}}{{9}} - \frac{{1}}{{10}} +  \frac{{1}}{{11}} + \frac{{1}}{{12}} - \frac{{1}}{{13}} + \cdots   (Euler, 1748)
يتم تعيين الإشارات كما يلي. إذا كان المقام عدد أولي على الصورة (4m - 1): الإشارة موجبة; إذا كان المقام عدد أولي على الصورة (4m + 1): إشارة سالبة; للأعداد المتراكبة: حاصل ضرب إشارات عواملها; العامل 2 له إشارة موجبة.[2]

صيغ مثيلة-ماتشن[عدل]

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} (الأصلية صيغة Machin's)
\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}
\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}
\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}
\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}
\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}

مضاريب لا منتهية[عدل]

 \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{36}{35} \cdot \frac{64}{63} \cdots = \frac{\pi}{2} (انظر أيضا ضرب واليس)

صيغة فيتا:

\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots = \frac2\pi

كسور مستمرة ثلاثية[عدل]


\pi= {3 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \cfrac{7^2}{6 + \ddots\,}}}}}

\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{3 + \cfrac{2^2}{5 + \cfrac{3^2}{7 + \cfrac{4^2}{9 + \ddots}}}}}

\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}}\,

لتفاصيل أكثر خول هذه المتطابقة، انظرصيغة أويلر للكسر المستمر.

(انظر أيضا كسر مستمر وكسر مستمر معمم.)

منوعات[عدل]

n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (تقريب ستيرلنغ)
e^{i \pi} + 1 = 0\; (متطابقة أويلر)
\sum_{k=1}^{n} \varphi (k) \sim \frac{3n^2}{\pi^2} (انظر مؤشر أويلر)
\sum_{k=1}^{n} \frac {\varphi (k)} {k} \sim \frac{6n}{\pi^2} (انظرمؤشر أويلر)
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi} (انظر أيضا دالة غاما)
\pi = \frac{\Gamma\left({1/4}\right)^{4/3} \mathrm{agm}(1, \sqrt{2})^{2/3}}{2} (حيث أن agm هو المتوسط الحسابي الهندسي)
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (n\;\bmod\;k) = 1-\frac{\pi^2}{12} (حيث mod هي دالة باقي القسمة)
\lim_{n\rightarrow \infty} 10^{n+2}\cdot \sin(\frac{1}{\underbrace{5555}_{\mathrm{n\; digits}}}) = \pi (حيث أن دالة الجيب sin مقدرة بالدرجات وليس بالراديان هنا)

فيزياء[عدل]

\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho
 \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}
 R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}
 F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
 \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,

انظر أيضا[عدل]

ملاحظات[عدل]

  1. ^ Cetin Hakimoglu-Brown Derivation of Rapidly Converging Infinite Series
  2. ^ Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Chapter 21.

مراجع[عدل]