ملحق:قائمة المتسلسلات الرياضياتية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

هذه قائمة بالمتسلسلات الرياضياتية و التي تحتوي على صيغ بالتجميعات المنتهية و اللامنتهية. و يمكن استخدامها مع غيرها من الأدوات التي تقوم بتقدير التجميعات evaluating sums.

تجميعات القوى[عدل]

المعادلة
\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\,\!
\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}  \,\!
\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2\,\!
\sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}\,\!
\sum_{i=0}^n i^s = \frac{(n+1)^{s+1}}{s+1} + \sum_{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}{s\choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!
حيث أن B_k هو عدد بيرنولي ذو العدد k.
\sum_{i=1}^\infty i^{-s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s)\,\!
حيث أن \zeta(s) هو دالة زيتا.

متسلسلات القوى[عدل]

تجميع اللانهائيات (عندما يكون |x| < 1) تجميع النهائيات
\sum_{i=0}^\infty x^i= \frac{1}{1-x}\,\! \sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1+\frac{1}{r}(1-\frac{1}{(1+r)^n}), \mathrm{where}\ r>0\ \mathrm{and}\ x=\frac{1}{1+r}.\,\!
\sum_{i=0}^\infty x^{2i}= \frac{1}{1-x^2}\,\!
\sum_{i=1}^\infty i x^i = \frac{x}{(1-x)^2}\,\! \sum_{i=1}^n i x^i = x\frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{n x^{n+1}}{1-x}\,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^2 x^i =\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\,\! \sum_{i=1}^n i^2 x^i = \frac{x(1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2})}{(1-x)^3} \,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^3 x^i =\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x)^4}\,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^4 x^i =\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x)^5}\,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^k x^i
 = \operatorname{Li}_{-k}(x),\,\! حيث أن Lis(x) هو لوغاريتم متعدد للمتغير x.

قواسم بسيطة[عدل]

المعادلة
\sum^{\infty}_{i=1} \frac{x^i}i = \log_e\left(\frac{1}{1-x}\right) \quad\mbox{ for } |x|\le 1, \, x\not= 1\,\!
\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{2i+1} x^{2i+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \arctan(x)\,\!
\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{2i+1} = \mathrm{arctanh} (x) \quad\mbox{ for } |x| < 1\,\!
\sum^{\infty}_{i=1} \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6}\,\!

قواسم عاملية[عدل]

هي متسلسلة متعددة القوى نشأت من مبرهنة تايلور و يكون لديها معامل عاملي.

المعادلة
\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^i}{i!} = e^x
\sum^{\infty}_{i=0} i   \frac{x^i}{i!} = x e^x (شاهد توزيع بواسون)
\sum^{\infty}_{i=0} i^2 \frac{x^i}{i!} = (x + x^2) e^x (شاهد العزم الثاني لتوزيع بواسون)
\sum^{\infty}_{i=0} i^3 \frac{x^i}{i!} = (x + 3x^2 + x^3) e^x
\sum^{\infty}_{i=0} i^4 \frac{x^i}{i!} = (x + 7x^2 + 6x^3 + x^4) e^x
\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i+1)!} x^{2i+1}=  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sin x
\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i)!} x^{2i} =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \cos x
\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} = \sinh x
\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i}}{(2i)!} = \cosh x

القواسم العاملية-المعدلة[عدل]

المعادلة
\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = \arcsin x\quad\mbox{ for } |x| < 1\!
\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i (2i)!}{4^i (i!)^2 (2i+1)} x^{2i+1} = \mathrm{arcsinh}(x) \quad\mbox{ for } |x| < 1\!

متسلسلة ثنائية الحد[عدل]

متسلسلة ثنائية الحد (و من ضمنها متسلسلة الجذر التربيعي عندما يكون \alpha = 1/2 و المتسلسلة الهندسية اللانهائية عندما يكون \alpha = -1):

الجذر التربيعي:

  • \sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \quad\mbox{ for } |x|<1\!

المتسلسلة الهندسية:

  • (1+x)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n \quad\mbox{ for } |x|<1

الصيغة العامة:

  • (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ for all } |x| < 1 \mbox{ and all complex } \alpha\!
مع العوامل الثنائية الحد المعممة
{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!

عوامل ثنائية الحد[عدل]

المعادلة
\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n
\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i = (a + b)^n
\sum_{i=0}^n (-1)^i{n \choose i} = 0
\sum_{i=0}^n {i \choose k} = { n+1 \choose k+1 }
\sum_{i=0}^n {k+i \choose i} = { k + n + 1 \choose n }
\sum_{i=0}^r {r \choose i}{s \choose n-i} = {r + s \choose n}

دوال مثلثية[عدل]

إن تجميعات الجيوب و الجيوب التمام مأخوذة من متسلسلة فوييه.

المعادلة
\sum_{i=1}^n \sin\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0
\sum_{i=1}^n \cos\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0

غير مصنفة[عدل]

المعادلة
\sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b}{n^2 - b^2} = \sum_{n=1}^{2b} \frac{1}{2n}

أنظر أيضاً[عدل]

ملاحظات[عدل]

  1. ^ أ ب ت ث Theoretical computer science cheat sheet

المراجع[عدل]