ملحق:قائمة المطابقات المثلثية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
جميع الدوال المثلثية التي لها زاوية θ يمكن انشاؤها بالهندسة التحليلية بدلالة درائرة الوحدة التي مركزها عند  O.
الجيوب وجيوب التمام حول دائرة الوحدة

في الرياضيات، المطابقات المثلثية أو المتطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي متساويات تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة غاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية(sin,cos,tan)أو مقلوباتها بحيث تكون احدى زوايا المعادلة مجهولة وتحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة[1].

محتويات

ملاحظات[عدل]

  • لتجنب الالتباس حول (sin−1(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (cosec(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.
الدالة الدالة العكسية المقلوب معكوس المقلوب
جيب الزاوية sin قوس جيب الزاوية arcsin قاطع تمام الزاوية csc قوس قاطع التمام arccsc
جيب تمام الزاوية cos قوس جيب الزاوية arccos قاطع الزاوية sec قوس قاطع الزاوية arcsec
ظل الزاوية tan قوس ظل الزاوية arctan قاطع الظل cot قوس قاطع الظل arccot

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

الدرجات 30 45 60 90 120 180 270 360
الراديان \pi/6 \pi/4 \pi/3 \pi/2 2\pi/3 \pi 3\pi/2 2\pi
غراد 33 ⅓ 50 66 ⅔ 100 133 ⅓ 200 300 400

علاقات أساسية[عدل]

متطابقة فيثاغورث الهندسية \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,
متطابقة النسبة \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى.
الدالة (\sin \theta) (\cos \theta) (\tan \theta) (\csc \theta) (\sec \theta) (\cot \theta)
   \sin \theta =    \sin \theta\ \pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\ \pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\    \frac{1}{\csc \theta}\ \pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\ \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\
   \cos \theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\    \cos \theta\ \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\ \pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\    \frac{1}{\sec \theta}\ \pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\
   \tan \theta = \pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\ \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\    \tan \theta\ \pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\ \pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\    \frac{1}{\cot \theta}\
   \csc \theta =    \frac{1}{\sin \theta}\ \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\ \pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\    \csc \theta\ \pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\ \pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\
   \sec \theta = \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\    \frac{1}{\cos \theta}\ \pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\ \pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\    \sec \theta\ \pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\
   \cot \theta = \pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\ \pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\    \frac{1}{\tan \theta}\ \pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\ \pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\    \cot \theta\

التطابق, الإزاحة, والدورية[عدل]

من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

التطابق[عدل]

تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF" ! انعكاس في \theta=0 ! انعكاس في \theta= \pi/2
(متطابقة مساعدة) ! انعكاس في \theta= \pi |- |
\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\csc(-\theta) &= -\csc \theta \\
\sec(-\theta) &= +\sec \theta \\
\cot(-\theta) &= -\cot \theta
\end{align}
|
\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta
\end{align}
|
\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\
\end{align}
|}

الإزاحة والدورية[عدل]

ازح بمقدار π/2 ازح بمقدار π
للظل وقاطع الظل
ازح بمقدار 2π
للجيب, جيب التمام, القاطع وقاطع التمام.

\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta
\end{align}

متطابقات مجموع وفرق الزوايا[عدل]

الجيب \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,
جيب التمام \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,
الظل \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}
قوس الجيب \arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})
قوس جيب التمام \arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})
قوس الظل \arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)

شكل المصفوفة[عدل]

 \left[\begin{matrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\  \sin\alpha & \cos\alpha \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\cos\beta & -\sin\beta \\  \sin\beta & \cos\beta\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\  \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{matrix}\right].

جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية[عدل]

 \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\mathrm{odd}\  k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2}
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)
 \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\mathrm{even}\  k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right)

ظلال مجاميع حدود محدودة[عدل]

\tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots},

مثال:

 \begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3)
&{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3)}{
1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}, \\  \\
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4)
&{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2 + e_4} \\  \\
&{}= \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)}{
1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4)},\end{align}

وهكذا

قواطع مجاميع حدود محدودة[عدل]

 \sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}

مثلا,

 \sec(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma }.

صيغ الزوايا المتعددة[عدل]

Tn is the nth Chebyshev polynomial \cos n\theta =T_n (\cos \theta)\,  
Sn is the nth spread polynomial \sin^2 n\theta = S_n (\sin^2\theta)\,
de Moivre's formula, i is the Imaginary unit \cos n\theta +i\sin n\theta=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n \,    
1+2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx)
= \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.
(This function of x is the Dirichlet kernel.)

صيغ مضاعفات, ثلاثيات, وانصاف الزوايا[عدل]


Double-angle formulae
\begin{align}
\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align} \begin{align}
\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ 
&= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align} \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\, \cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\,
Triple-angle formulae
\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta \, \cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \, \tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} \cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}
Half-angle formulae
\sin \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \begin{align} \tan \tfrac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\ &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \end{align} \begin{align} \cot \tfrac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\ &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} \end{align}

جيوب, جيوب التمام, وظلال زوايا متعددة[عدل]

\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)
\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)
\tan\,(n{+}1)\theta = \frac{\tan n\theta + \tan \theta}{1 - \tan n\theta\,\tan \theta}.
\cot\,(n{+}1)\theta = \frac{\cot n\theta\,\cot \theta - 1}{\cot n\theta + \cot \theta}.

ظل المتوسط[عدل]

 \tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2} \right)
= \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}
= -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}

مضروب ايولر اللانهائي[عدل]

 \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right)
\cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right)
= {\sin(\theta)\over \theta} = \operatorname{sinc}\,\theta.

صيغ اختصار الأس[عدل]

Sine Cosine Other
\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}
\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4} \cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4} \sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}
\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8} \cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8} \sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}
\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16} \cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16} \sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}
Cosine Sine
\mbox{if }n\mbox{ is odd} \cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)} \sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}
\mbox{if }n\mbox{ is even} \cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)} \sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}

متطابقات التحويل من المجوع إلى المضروب والمضروب إلى المجموع[عدل]

Product-to-sum
\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}
\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}
\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}
\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}
\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left(\frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left(\frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)
\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left(\frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left(\frac{\theta - \varphi}{2} \right)
\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)

متطابقات أخرى ذات صلة[عدل]

\mbox{if }x + y + z = \pi = \mbox{half circle,}\,
\mbox{then }\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z).\,
\mbox{If }x + y + z = \pi = \mbox{half circle,}\,
\mbox{then }\sin(2x) + \sin(2y) + \sin(2z) = 4\sin(x)\sin(y)\sin(z).\,

نظرية بتولمي[عدل]

 \mbox{If }w + x + y + z = \pi = \mbox{half circle,} \,
\begin{align} \mbox{then }
&     \sin(w + x)\sin(x + y) \\
&{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\
&{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\
&{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z).
\end{align}

مركبات خطية[عدل]

a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,

حيث


\varphi = \begin{cases}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
& \text{if }a \ge 0, \\
\pi-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{if }a < 0,
\end{cases}

أو

\varphi = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) + \begin{cases}
0 & \text{if }a \ge 0, \\
\pi & \text{if }a < 0.
\end{cases}
a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,

حيث


  c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \alpha},\,

و


  \beta = \arctan \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right) + \begin{cases}
0 & \text{if } a + b\cos \alpha \ge 0, \\
\pi & \text{if } a + b\cos \alpha < 0.
\end{cases}

مجاميع أخرى للدوال المثلثية[عدل]

\sin{\varphi} + \sin{(\varphi + \alpha)} + \sin{(\varphi + 2\alpha)} + 
\cdots + \sin{(\varphi + n\alpha)}=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \sin{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.
\cos{\varphi} + \cos{(\varphi + \alpha)} + \cos{(\varphi + 2\alpha)} + 
\cdots + \cos{(\varphi + n\alpha)}=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \cos{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.
a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cos(x - \operatorname{atan2}\,(b,a)) \;
\tan(x) + \sec(x) = \tan\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).
\cot(x)\cot(y) + \cot(y)\cot(z) + \cot(z)\cot(x) = 1.\,

تحويلات كسرية خطية معينة[عدل]

 f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha},

وبالمثل

 g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta},

وعليه

 f(g(x)) = g(f(x))
= \frac{(\cos(\alpha+\beta))x - \sin(\alpha+\beta)}{(\sin(\alpha+\beta))x + \cos(\alpha+\beta)}.
 f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}. \,

دوال المعكوس المثلثية[عدل]

 \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;
 \arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;
\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{if }x > 0 \\  -\pi/2, & \mbox{if }x < 0 \end{matrix}\right.

مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها[عدل]

\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \, \tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \, \cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

علاقة بالأس المركب[عدل]

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\, (صيغة أويلر),
e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,
e^{i\pi} = -1\,
\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;
\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;
\tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

حيث i^2 = -1.

صيغة المضروب اللانهائي[عدل]

\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
\frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)
\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)
\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)

المتطابقات الخالية من المتغيرات[عدل]

\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}
\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.
 \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8},
\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8}.
\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.
 \cos\left(   \frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right)   
  \,+\, \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
 
  \,+\, \cos\left(5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left(8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.

حساب π[عدل]

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}
\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}.

بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة[عدل]


\begin{matrix}
\sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & \sqrt{0}/2 & = & \cos 90^\circ &  =  & \cos \left(\frac {\pi} {2} \right) \\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \sqrt{1}/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {3} \right) \\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {4} \right) \\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {6} \right)\\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & \sqrt{4}/2 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0 
\end{matrix}

قيم أخرى شيقة[عدل]

\sin{\frac{\pi}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{6}-
\frac{\sqrt{7}}{189} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j+1)!}{189^j j!\,(2j+2)!}
\!
\sin{\frac{\pi}{18}}=
\frac{1}{6} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j)!}{27^j j!\,(2j+1)!}
\!

بـالنسبة الذهبية φ:

\cos \left(\frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \varphi /2
\sin \left(\frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4}  = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}

التفاضل والتكامل[عدل]

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0,
{d \over dx}\sin x = \cos x

\begin{align}
{d \over dx} \sin x & = \cos x          ,& {d \over dx} \arcsin x & =  {1 \over \sqrt{1 - x^2}}      \\  \\
{d \over dx} \cos x & = -\sin x         ,& {d \over dx} \arccos x & = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}      \\  \\
{d \over dx} \tan x & = \sec^2 x        ,& {d \over dx} \arctan x & = { 1 \over 1 + x^2}             \\  \\
{d \over dx} \cot x & = -\csc^2 x       ,& {d \over dx} \arccot x & = {-1 \over 1 + x^2}             \\  \\
{d \over dx} \sec x & = \tan x \sec x   ,& {d \over dx} \arcsec x & = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}   \\  \\
{d \over dx} \csc x & = -\csc x \cot x  ,& {d \over dx} \arccsc x & = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
\end{align}\
\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{a^{2}+u^{2}}}=\frac{1}{a}\tan ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{u\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\frac{1}{a}\sec ^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C

تضمينات[عدل]

تعاريف أسية[عدل]

Function Inverse function
\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \, \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,
\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \, \arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,
\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \, \arctan x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,
\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \arccsc x = -i \ln \left(\tfrac{i}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{1}{x^2}}\right) \,
\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \, \arcsec x = -i \ln \left(\tfrac{1}{x} + \sqrt{1 - \tfrac{i}{x^2}}\right) \,
\cot \theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \arccot x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,
\operatorname{cis} \, \theta = e^{i\theta} \, \operatorname{arccis} \, x = \frac{\ln x}{i} \,

متفرقات[عدل]

نواة ديراك[عدل]

1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx) = \frac{ \sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\rbrack }{ \sin\left(\frac{x}{2}\right) }.

صيغ امتدادات نصف الزاوية[عدل]

اذا وضعنا

t = \tan\left(\frac{x}{2}\right),
\sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2}\text{ and }\cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\text{ and }e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t}.

مراجع[عدل]

  1. ^ ملخصات ايزي شوم