ملحق:قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

هذه قائمة بتكاملات الدوال المثلثية العكسية.

الدوال التي تحتوي معكوس الجا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس الجا (جا−١) = arcsin

\int \arcsin x \,dx = x\arcsin x+ \sqrt{1-x^2} + C
\int \arcsin \frac{x}{a} \  dx = x \arcsin \frac{x}{a} + \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x \arcsin \frac{x}{a} \  dx = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{a^2}{4} \right) \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{4} \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x^2 \arcsin \frac{x}{a} \  dx = \frac{x^3}{3} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x^2 + 2a^2}{9} \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x^n \arcsin x \  dx = \frac{1}{n + 1} \left(x^{n + 1} \arcsin x + \frac{x^n \sqrt{1 - x^2} - n x^{n - 1} \arcsin x}{n - 1} + n \int x^{n - 2} \arcsin x \  dx \right)
\int \cos^n x \arcsin x \  dx = \left(x^{n^2 + 1} \arccos x + \frac{x^n \sqrt{1 - x^4} - n x^{n^2 - 1} \arccos x}{n^2 - 1} + n \int x^{n^2 - 2} \arccos x \  dx \right)

الدوال التي تحتوي معكوس الجتا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس الجتا (جتا−١) = arccos

\int \arccos x \,dx = x\arccos x- \sqrt{1-x^2} + C
\int \arccos \frac{x}{a} \  dx = x \arccos \frac{x}{a} - \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x \arccos \frac{x}{a} \  dx = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{a^2}{4} \right) \arccos \frac{x}{a} - \frac{x}{4} \sqrt{a^2 - x^2} + C
\int x^2 \arccos \frac{x}{a} \  dx = \frac{x^3}{3} \arccos \frac{x}{a} - \frac{x^2 + 2a^2}{9} \sqrt{a^2 - x^2} + C

الدوال التي تحتوي معكوس الظا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس الظا (ظا−١) = arctan

\int \arctan x \,dx = x\arctan x- \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C
\int \arctan\big(\frac{x}{a}\big) dx = x \arctan \big(\frac{x}{a} \big) - \frac{a}{2} \ln(1 + \frac{x^2}{a^2})  + C
\int x \arctan\big(\frac{x}{a}\big) dx = \frac{ (a^2 + x^2) \arctan \big(\frac{x}{a} \big) - a x}{2}  + C
\int x^2 \arctan\big(\frac{x}{a}\big) dx = \frac{x^3}{3} \arctan \big(\frac{x}{a}\big) - \frac{a x^2}{6} + \frac{a^3}{6} \ln({a^2 + x^2}) + C
\int x^n \arctan \big(\frac{x}{a}\big)  dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \arctan \big(\frac{x}{a} \big) - \frac{a}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{a^2 + x^2} \  dx, \quad n \neq -1

الدوال التي تحتوي معكوس ظتا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس الظتا (ظتا−١) = arccsc

\int \arccsc x \,dx = x\arccsc x+ \ln\left| x+x\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right| + C
\int \arccsc \frac{x}{a} \  dx = x \arccsc \frac{x}{a} + {a} \ln{(\frac{x}{a}(\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}} + 1))} + C
\int x \arccsc \frac{x}{a} \  dx = \frac{x^2}{2} \arccsc \frac{x}{a} + \frac{ax}{2} \sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}} + C

الدوال التي تحتوي معكوس قا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس القا (قا−١) = arcsec

\int \arcsec x \,dx = x\arcsec x- \ln\left| x+x\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right| + C
\int \arcsec \frac{x}{a} \  dx = x \arcsec \frac{x}{a} + \frac{x}{a |x|} \ln \left| x \pm \sqrt{x^2 - 1} \right| + C
\int x \arcsec x \  dx = \frac{1}{2} \left(x^2 \arcsec x - \sqrt{x^2 - 1} \right) + C
\int x^n \arcsec x \  dx = \frac{1}{n + 1} \left(x^{n + 1} \arcsec x - \frac{1}{n} \left[ x^{n - 1} \sqrt{x^2 - 1} + [1 - n] \left(x^{n - 1} \arcsec x + (1 - n) \int x^{n - 2} \arcsec x \  dx \right) \right] \right)

الدوال التي تحتوي معكوس قتا[عدل]

أخذاً بالعلم أن معكوس القتا (قتا−١) = arccot

\int \arccot x \,dx = x\arccot x+ \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C
\int \arccot \frac{x}{a} \  dx = x \arccot \frac{x}{a} + \frac{a}{2} \ln(a^2 + x^2) + C
\int x \arccot \frac{x}{a} \  dx = \frac{a^2 + x^2}{2} \arccot \frac{x}{a} + \frac{a x}{2} + C
\int x^2 \arccot \frac{x}{a} \  dx = \frac{x^3}{3} \arccot \frac{x}{a} + \frac{a x^2}{6} - \frac{a^3}{6} \ln(a^2 + x^2) + C
\int x^n \arccot \frac{x}{a} \  dx = \frac{x^{n + 1}}{n+1} \arccot \frac{x}{a} + \frac{a}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{a^2 + x^2} \  dx, \quad n \neq -1